解释：

拐点只能发生在二阶导数为零或未定义的情况下。这里我们有

．

因此，可能的拐点发生在而且．然而，要有一个拐点，我们必须检查二阶导数的符号在点的每一边是不同的。这里我们有

．

因此，两者都是拐点

解释：

可能的拐点发生在．这发生在三个值处，．然而，要成为拐点的标志临界值的两边必须不同。因此,只有点至关重要。

解释：

拐点是在函数的图形(或图像)改变凹度的地方发现的。为了从代数上求出它，我们要找出函数的二阶导在哪里改变符号，从负到正，或者反过来。我们求给定函数的二阶导数

用幂法则求一阶导数

是,

二阶导数是

然后求二阶导的值．当．

然后看二阶导在这一点是否改变符号。从图上和代数上，我们可以看到这个函数确实会改变符号at，而且只有at，所以这是拐点。

解释：

为了找到拐点，我们需要找到利用幂法则，．

现在我们组，求解．

为了验证这是一个真正的拐点，我们需要在二阶导数中代入一个小于拐点的值和一个大于拐点的值。如果在这个点周围有符号变化，那么它就是一个真正的拐点。

让

现在我们

因为符号在点附近由正变为负我们可以得出结论，它是一个拐点。

解释：

为了找到拐点，我们需要找到使用幂法则．

为了找到拐点，我们需要．

．

现在我们可以用二次方程了。

回想一下，二次方程是

，

其中a b c指的是方程的系数．

在本例中，a=12, b=0, c=-4。

因此可能的感染点是

．

现在，为了检查是否或哪些是拐点，我们需要插入一个高于或低于每个点的值。如果有符号变化，那么这个点就是拐点。

检查让我们代入．

因此是一个拐点。

现在让我们检查与．

因此也是一个拐点。

解释：

为了找到拐点，我们需要找到使用幂法则．

现在我们的因素．

为了找到拐点，我们需要．

．

从这个方程中，我们已经知道了一个拐点，．

为了求出其余的拐点，我们可以使用二次方程。

回想一下，二次方程是

，其中a,b,c为方程的系数

．

在本例中，a=20, b=0, c=-18。

因此其他两个感染点是

为了验证它们都是拐点，我们需要插入高于或低于每个值的值，看看符号是否发生了变化。

让我们代入

因为每个点都有符号变化，所以都是拐点。

解释：

为了找到拐点，我们需要找到

现在我们组．

．

最后一个表述说永远不会．因此没有拐点。

解释：

一个给定函数的拐点是函数的值第二个函数的导数等于零。

函数的一阶导数是

，这个函数的导数(原函数的二阶导数)为

．

这两个导数都是用幂法则求出来的

．

解决，．

为了验证这个点是一个真正的拐点，我们需要在二阶导数中代入一个小于该点和大于该点的值。如果两个数之间有符号变化，那么这个点就是拐点。

让我们代入，

．

现在插入

．

因此,是函数的唯一拐点。

解释：

为了找到所有的拐点，我们首先找到用两次幂法则，．

现在我们组．

．

现在把左边因式分解。

由此我们可以看出，在有一个拐点．

对于拐点，我们解出括号内方程的x。

解释：

为了找到所有的拐点，我们首先找到使用两次幂法则．

现在我们组．

因此，拐点是而且