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例子问题

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问题26:点

找出临界点(四舍五入到小数点后两位):

f(x)= x^3+3x^2+x

可能的答案:

$c=-0.25\ and\ c=-2.41$

$c=0.25\ and\ c=2.41$

$c=-0.18\ and\ c=-1.82$

$c=0.18\ and\ c=1.82$

正确答案:

$c=-0.18\ and\ c=-1.82$

解释：

求临界点，集合 f{}'(x)=0 和解决．

f(x)= x^3+3x^2+x

区分:

$f{}'(x)= 3x^2+6x+1$

设为零:

3x^2+6x+1=0

解出使用二次公式: $x= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$a=3,\ b=6,\ c=1$

$x= \frac{-6\pm \sqrt{(6)^2-4(3)(1)}}{2(3)}$

$x= \frac{-6\pm \sqrt{36-12}}{6}}$

$x= \frac{-6+\sqrt{24}}{6}}\ and\ x= \frac{-6-\sqrt{24}}{6}}$

$c=-0.18\ and\ c=-1.82$

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问题27:点

找到的临界点的值

f(x)=x^3+2x^2+x+4 ．

可能的答案:

$\\ c_1=-3 \\ \\ c_2=1$

没有真正的答案。

$\\ c_1=-\frac{1}{3} \\ \\ c_2=-1$

$\\ c_1=3 \\ \\ c_2=-1$

$\\ c_1=\frac{1}{3} \\ \\ c_2=1$

正确答案:

$\\ c_1=-\frac{1}{3} \\ \\ c_2=-1$

解释：

为了找到临界点，我们必须找到 $\ f'(x)$ 和解决 $\ x$

f(x)=x^3+2x^2+x+4

$\\ \\ f'(x)=3x^2+4x+1$

集 f'(x)=0

$\\ \\ 3x^2+4x+1=0$

用二次方程解 $\ x$ ．

记住，二次方程如下。

$\\ \\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$ 式中的系数a、b、c

方程 ax^2+bx+c=0 ．

在这种情况下, a=3 ， b=4 , c=1 ．

插入这些值后，我们得到了

$\\ \\ x=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot3\cdot1}}{2\cdot3} =\frac{-4 \pm \sqrt{4}}{6}=\frac{-4 \pm 2}{6}$ ．

临界点值:

$\\ \\ c_1=\frac{-4+2}{6}=\frac{-1}{3}$

$\\ \\ c_2=\frac{-4-2}{6}=-1$

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问题28:点

找到的临界点的值

f(x)=5x^3+10x^2+x+100 ．

可能的答案:

$\\ c_1=\frac{-10+\sqrt{85}}{30} \\ \\ c_2=\frac{-10-\sqrt{85}}{30}$

$\\ c_1=0 \\ \\ c_2=0$

$\\ c_1=1 \\ \\ c_2=0$

$\\ c_1=\frac{\sqrt{85}}{15} \\ \\ c_2=\frac{-\sqrt{85}}{15}$

$\\ c_1=\frac{-10+\sqrt{85}}{15} \\ \\ c_2=\frac{-10-\sqrt{85}}{15}$

正确答案:

$\\ c_1=\frac{-10+\sqrt{85}}{15} \\ \\ c_2=\frac{-10-\sqrt{85}}{15}$

解释：

为了找到临界点，我们必须找到 $\ f'(x)$ 和解决 $\ x$ ．

$\\ \\ f(x)=5x^3+10x^2+x+100$

$\\ \\ f'(x)=15x^2+20x+1$

集 $\ f'(x)=0$

$\\ \\ 15x^2+20x+1=0$

用二次方程解 $\ x$ ．

记住，二次方程如下。

$\\ \\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$ 式中，a、b、c为方程中的系数 ax^2+bx+c=0 ．

在这种情况下, a=15 ， b=20 , c=1 ．

在插入这些值之后，我们得到。

${}\\ x=\frac{-20\pm\sqrt{20^2-4\cdot15\cdot1}}{2\cdot15} =\frac{-20 \pm \sqrt{340}}{30} \\ \\ x=\frac{-20 \pm 2\cdot\sqrt{85}}{30}$

临界点值,

${}\\ \\ c_1=\frac{-20+2\cdot \sqrt{85}}{30}=\frac{-10+\sqrt{85}}{15} \\ \\ c_2=\frac{-20-2\cdot \sqrt{85}}{30}=\frac{-10-\sqrt{85}}{15}$

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问题#29:点

找出临界点

f(x)=x^3+3x^2+x+5

可能的答案:

$\\ c_1=\frac{\sqrt{6}}{3}\\\\\ c_2=-\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\\ c_1=-1+\frac{\sqrt{6}}{3}\\\\\ c_2=-1-\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\\ c_1=0\\\\\ c_2=-1-\frac{\sqrt{6}}{3}$

临界点是复杂的。

正确答案:

$\\ c_1=-1+\frac{\sqrt{6}}{3}\\\\\ c_2=-1-\frac{\sqrt{6}}{3}$

解释：

首先我们需要找到 f'(x) ．

f(x)=x^3+3x^2+x+5

f'(x)=3x^2+6x+1

现在我们组 f'(x)=0.

3x^2+6x+4=0.

现在我们可以用二次方程来求临界点。

记住二次方程是

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ，

其中a b c指的是方程中的系数

ax^2+bx+c=0

在本例中，a=3 b=6 c=1。

$x=\frac{-6\pm\sqrt{(-6)^2-4(3)(1)}}{(2)(3)}$

$x=\frac{-6\pm\sqrt{24}}{6}=\frac{-6\pm2\sqrt{6}}{6}$

因此是关键点

$c_1=\frac{-6+2\sqrt{6}}{6}=-1+\frac{\sqrt{6}}{3}$

$c_2=\frac{-6-2\sqrt{6}}{6}=-1-\frac{\sqrt{6}}{3}$

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示例问题＃31：点

找出临界点

f(x)=x^2-2x+1 ．

可能的答案:

x=2

没有临界点。

x=0

x=1

正确答案:

x=1

解释：

为了找到临界点，我们需要找到 f'(x) 使用幂次法则 $f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$ ．

f(x)=x^2-2x+1

f'(x)=2x-2

现在我们组 f'(x)=0 ，求解．

2x-2=0

2x=2

x=1

因此 x=1 这是一个关键点。

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问题32:点

的临界点 $f(x)=2x^{2}-5x+4$ ．

可能的答案:

$c=\frac{5}{4}$ 和 $c=-\frac{5}{4}$

$c=\frac{5}{4}$ 和 $c=-\frac{4}{5}$

$c=\frac{4}{5}$

$c=\frac{4}{5}$ 和 $c=-\frac{4}{5}$

$c=\frac{5}{4}$

正确答案:

$c=\frac{5}{4}$

解释：

求函数的临界点 f(x) ，求导 f'(x) ，设它等于，求解．

鉴于 $f(x)=2x^{2}-5x+4$ ，使用幂次法则

$f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$ 求导数。因此导数是， f'(x)=4x-5=0 ．

自 4x-5=0 ：

4x=5

$x=\frac{5}{4}$

临界点是 $c=\frac{5}{4}$ ．

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问题#33:点

找出临界点

f(x)=3x^3-20x^2+4x+99 ．

可能的答案:

$c=\frac{20-2\sqrt{91}}{9}$

x=0

$\\ c_1=\frac{20+2\sqrt{91}}{9} \\ \\ c_2=\frac{20-2\sqrt{91}}{9}$

没有临界点

$\\ c=\frac{20+2\sqrt{91}}{9}$

正确答案:

$\\ c_1=\frac{20+2\sqrt{91}}{9} \\ \\ c_2=\frac{20-2\sqrt{91}}{9}$

解释：

为了找到临界点，我们必须找到 f'(x) 使用幂次法则 $f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$ ．

f(x)=3x^3-20x^2+4x+99

f'(x)=9x^2-40x+4 ．

现在我们组 f'(x)=0 ．

9x^2-40x+4=0

现在我们用二次方程来解．

记住，二次方程如下。

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ，

其中a b c对应于方程中的系数

ax^2+bx+c=0 ．

在本例中，a=9, b=-40, c=4。

$x=\frac{40\pm\sqrt{(-40)^2-4(9)(4)}}{2(9)}$

$x=\frac{40\pm\sqrt{1600-144}}{18}$

$x=\frac{40\pm\sqrt{1456}}{18}=\frac{40\pm4\sqrt{91}}{18}$

那么关键点是:

$c_1=\frac{40+4\sqrt{91}}{18}=\frac{20+2\sqrt{91}}{9}$

$c_2=\frac{40-4\sqrt{91}}{18}=\frac{20-2\sqrt{91}}{9}$

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问题34:点

找出问题的所有关键点

f(x)=x^3-2x+10 ．

可能的答案:

$x=-\sqrt{\frac{2}{3}}$

x=0

$\\ x=\sqrt{\frac{2}{3}} \\ \\ x=-\sqrt{\frac{2}{3}}$

没有临界点。

$\\ x=\sqrt{\frac{2}{3}}$

正确答案:

$\\ x=\sqrt{\frac{2}{3}} \\ \\ x=-\sqrt{\frac{2}{3}}$

解释：

为了找到临界点，我们首先需要找到 f'(x) 使用幂次法则 $f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$ ．.

f(x)=x^3-2x+10

f'(x)=3x^2-2

现在我们组 f'(x)=0 ．

3x^2-2=0

3x^2=2

$x^2=\frac{2}{3}$

$x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}$

因此临界点是

$x=\sqrt{\frac{2}{3}}$ ,

$x=-\sqrt{\frac{2}{3}}$ ．

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问题35:点

找出以下函数的临界点:

$y=\frac{x^6}{6}+\frac{3x^5}{5}-\frac{13x^4}{4}-5x^3$

可能的答案:

$x=\left \{ {-3, 0, 1, 5} \right \}$

$x=\left \{ {-5, -1, 0, 3} \right \}$

$x=\left \{ {-6.013, -1.332, 0} \right \}$

$x=\left \{ {0, 1.332, 6.013} \right \}$

$x=\left \{ {{-5, -1, 0, 3}} \right \}$

正确答案:

$x=\left \{ {{-5, -1, 0, 3}} \right \}$

解释：

要找到临界点，就必须找到函数的导数。

$y=\frac{x^6}{6}+\frac{3x^5}{5}-\frac{13x^4}{4}-5x^3$

y'=x^5+3x^4-13x^3-15x^3

临界点出现在导数为零的地方。

0=x^5+3x^4-13x^3-15x^3

0=x^2(x+1)(x+5)(x-3)

$x=\left \{ {{-5, -1, 0, 3}} \right \}$

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问题36:点

如果，则确定图形上不改变的点 $f(x)=x^{2}-12x+32$ ．

可能的答案:

(0,0)

(6,-2)

(6,-4)

(3,-2)

(0,-4)

正确答案:

(6,-4)

解释：

求出图中的点 f(x) 是不变的，我们必须让一阶导数等于零，然后解出．

为了计算这个导数，我们需要以下公式:

$\frac{d}{dx}(c)=0, \frac{d}{dx}(x)=1, \frac{d}{dx}cx=c$

$\frac{d}{dx}(x^{n}))=nx^{n-1}, \frac{d}{dx}(cx^{n})=ncx^{n-1}$

$f'(x)=2x^{2-1}-12x^{1-1}+0=2x-12$

现在，让导数等于为了找到图表没有变化的地方:

2x-12=0 ==> x=6

现在，来找出相应的值，代入值回 f(x) ：

$f(6)=6^{2}-12(6)+32=36-72+32=-4$

因此，其中的点 f(x) 是不变的 (6,-4)

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