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微积分1:梯形近似

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例子问题

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问题1:如何用图形函数求梯形逼近

使用梯形近似来查找曲线下的面积，使用带有四个分区的图形。

Graph1

可能的答案:

$A \approx 38.4$

$A\approx 29.6$

$A \approx 24.4$

$A\approx 19.2$

正确答案:

$A\approx 29.6$

解释：

梯形法则说明

$\\ A\approx \frac{\Delta x}{2}[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)]\\ \Delta x=\frac{b-a}{n}, x_i=a+i\Delta x$ ．

因此，使用我们的图，我们有:

$\\ \Delta x=\frac{8}{4}=2\\ \\ x_i=0,2,4,6,8$

求样本点处的函数值:

f(x_i)=6,4,4,2.4,2.8

然后将合适的值代入梯形规则近似:

$A\approx\frac{2}{2}[6+2(4+4+2.4)+2.8]=29.6$

问题2:梯形近似

下面的函数在这一点上是递增还是递减？

h(x)=-x^5+5x^4+2x

可能的答案:

H (x)在，因为一阶导数是正的。

H (x)在，因为二阶导数是正的。

H (x)在因为一阶导数是负的。

H (x)在，因为二阶导数是负的。

正确答案:

H (x)在因为一阶导数是负的。

解释：

下面的函数在这一点上是递增还是递减？

h(x)=-x^5+5x^4+2x

递增区间和递减区间可以通过一阶导数求出。由于导数测量的是变化率，在给定点上导数的符号可以告诉你一个函数是在增加还是在减少。

首先对函数求导:

h(x)=-x^5+5x^4+2x

就变成:

h'(x)=-5x^4+20x^3+2

接下来，找出h'(-6)并看符号。

h'(x)=-5(-6)^4+20(-6)^3+2=-43198

一阶导数是非常在给定点为负。这意味着h(x)在减小。

问题3:梯形近似

用梯形近似近似下面的积分:

$\int_{0}^{5}(x^2+2x+1)dx$

可能的答案:

180

正确答案:

解释：

定积分的梯形近似由下式给出:

$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)(\frac{f(b)-f(a)}{2})$

利用上面的公式，我们得到

$5(\frac{36}{2})=90$

问题4:梯形近似

使用梯形近似计算以下积分:

$\int_{1}^{3}(x^3+x^2+6x)dx$

可能的答案:

正确答案:

解释：

要用梯形近似求定积分，我们必须用这个公式

$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)(\frac{f(b)-f(a)}{2})$

利用上面的公式，我们得到

$2(\frac{27+9+10-1-1-6}{2})=46$

问题5:梯形近似

使用梯形近似计算以下积分:

$\int_{0}^{\pi} 3\cos(x)dx$

可能的答案:

$3\pi$

$\frac{3\pi}{2}$

$-3\pi$

$6\pi$

正确答案:

$-3\pi$

解释：

要用梯形近似求定积分，我们必须用这个公式

$\int_{a}^{b}f(x)dx= (b-a)(\frac{f(b)-f(a)}{2})$

利用上面的公式，我们得到

$\pi(\frac{-3-3}{2})=-3\pi$

问题6:梯形近似

用梯形近似计算下面的积分:

$\int_{0}^{\2\pi}\frac{e^{2x}}{5\cos(x)}dx$

可能的答案:

$2\pi (\frac{e^{4\pi}-1}{5})$

$2\pi (\frac{e^{4\pi}-1}{10})$

$\pi (\frac{e^{4\pi}-1}{5})$

$2\pi (e^{4\pi}-1)$

$2\pi (\frac{e^{4\pi}+1}{5})$

正确答案:

$2\pi (\frac{e^{4\pi}-1}{10})$

解释：

要用梯形法则求积分，我们必须用这个公式

$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)(\frac{f(b)-f(a)}{2})$

由上式可得:

$2\pi(\frac{e^{4\pi}-1}{10})$

问题7:梯形近似

用梯形近似求积分:

$\int_{5}^{10}( x^2+e^{x-5})dx$

可能的答案:

$\frac{5}{2}(75+e^5)$

5(126+e^5)

$\frac{5}{2}(126-e^5)$

$\frac{5}{2}(126+e^5)$

正确答案:

$\frac{5}{2}(126+e^5)$

解释：

为了用梯形近似求定积分，我们必须使用下面的公式:

$\int_{a}^{b} f(x)dx\approx \frac{(b-a)(f(a)+f(b))}{2}$

利用上面的公式，我们得到

$\frac{(5)(100+e^5+26)}{2}$

化简为

$\frac{5}{2}(126+e^5)$

问题8:梯形近似

用梯形近似求积分:

$\int_{2}^{4}\frac{ t^3-t^2}{t}dt$

可能的答案:

正确答案:

解释：

为了用梯形近似求定积分，我们必须使用下面的公式:

$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)\frac{(f(a)+f(b))}{2}$

利用上面的公式，我们得到

$\frac{2(\frac{48}{4}+\frac{4}{2})}{2}=14$

问题9:梯形近似

用梯形近似求积分:

$\int_{-2}^{2}\frac{x^2+e^{x-2}}{3x}dx$

可能的答案:

$\frac{9+e^{-4}}{3}$

$\frac{1+e^{-4}}{3}$

$\frac{1-e^{-4}}{3}$

$\frac{1-e^{-4}}{6}$

正确答案:

$\frac{1-e^{-4}}{3}$

解释：

为了用梯形近似求积分，我们必须使用下面的公式:

$\int_{a}^{b} f(x)dx\approx (b-a)\frac{(f(b)+f(a))}{2}$

用这个公式，我们得到

$\frac{4(\frac{5}{6}+\frac{4+e^{-4}}{-6})}{2}=\frac{1-e^{-4}}{3}$

问题10:梯形近似

用梯形近似求积分:

$\int_{0}^{10} (\frac{x^2e^{10-x}}{5}+5x)dx$

可能的答案:

150

350

250

700

正确答案:

350

解释：

用梯形近似求定积分，公式如下:

$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)\frac{(f(b)+f(a))}{2}$

利用上面的公式，我们得到

$\frac{10[(\frac{100}{5}+50)+(0)]}{2}=350$ ．

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