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微积分1:如何解微分方程

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问题1:如何求微分方程的解

求(5+3x)的导数⁵。

可能的答案:

15 (5 + 3 x) ^ 4

15 x (5 + 3 x) ^ 4

5 x (5 + 3 x) ^ 4

5 (5 + 3 x) ^ 4

5 (5 + 3 x) ^ 4 x

正确答案:15 (5 + 3 x) ^ 4

解释：

我们用链式法则来解它。

D_x[x (5 + 3)⁵]

x = 5 (5 + 3)⁴* D_x(5 + 3 x)

x = 5 (5 + 3)⁴（3）

x = 15 (5 + 3)⁴

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问题1:如何求微分方程的解

发现D_x(sin (x) 7日)。

可能的答案:

7 sin (x) 7日cos (x) 7日

7因为(7 x)

7罪(7 x)

7因为(7 x)

正确答案:7因为(7 x)

解释：

首先，记住D_x(sin (x)) = cos (x)。现在我们可以用链式法则来解题了。

D_x(sin (x) 7日)

7 = cos (x) * D_xx [7]

7 = cos (x) * (7)

= 7 cos (x) 7日

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问题1:微分方程的解

计算f_xxyz如果f (x, y, z) =罪(4 x + yz)。

可能的答案:

-16因为(4 x + yz) + 16 yzsin (4 x + yz)

因为(4 x + yz)

4罪(4 x + yz)

-16年罪(4 x + yz)

反正切(4 x + yz)

正确答案:-16因为(4 x + yz) + 16 yzsin (4 x + yz)

解释：

我们可以一步一步地计算这个答案。我们首先对“xxyz”中最左边的变量求导。首先对x求导。

首先,f_x= 4 cos (4 x + yz)

然后,f_xx= -16罪(4 x + yz)

f_xxy= -16 zcos (4 x + yz)

最后,f_xxyz= 16cos(4x+yz) + 16yzsin(4x+yz)

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问题1:微分方程的解

集成 $\small \int_{0}^{\pi } \cos x \hspace 2 dx$

可能的答案:

$\small -\frac{\pi}{2}$

$\small \frac {\pi}{2}$

正确答案:

解释：

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sin x=cosx$

因此:

$\small \small \int_{0}^{\pi } \cos x \hspace 2 dx = \sin x \left]^\pi_0$
$\small \sin \pi - \sin 0 = 0 - 0 = 0$

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问题2:微分方程的解

整合:

$\small \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} \sec x \tan x \hspace 2 dx$

可能的答案:

$\small 0$

$\small 1 - \sqrt{2}$

$\small \small \sqrt{2}$

$\small \sqrt{2} -1$

$\small 1+\sqrt{2}$

正确答案:

$\small 1 - \sqrt{2}$

解释：

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sec x=\sec x\tan x$

因此:
$\small \small \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} \sec x \tan x \hspace 2 dx = \sec x \left]^0_{-\frac{\pi}{4} }$
$\small = \sec 0 - \sec(-\frac{\pi}{4}) = 1 - \sqrt{2}$

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问题2:如何求微分方程的解

求通解， y(x) 的微分方程

$\frac{dy}{dx}=30-2x$ 。

可能的答案:

30x-x^2

30x-x^2+C

Ln(30-x^2)

-Ln(30-x)+C

正确答案:

30x-x^2+C

解释：

我们可以使用分离变量来解决这个问题，因为所有的“y项”都在一边，所有的“x项”都在另一边。方程可以写成 $\frac{dy}{dx}=30-2x\Rightarrow dy=(30-2x)dx$ 。

两边积分得到 $\int dy = \int (30-2x) dx\Rightarrow y(x) = 30x-x^2+C$ 。

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问题1:如何求微分方程的解

考虑 y''= f(y) ;通过乘以 y'(x) 左右两边都可以迅速积分为

$\frac{1}{2}(y')^2 = F(y) + C$

在哪里 dF/dy = f(y) 。举个例子， y''(x) = [y(x)]^2 可以重写为:

$\frac{1}{2} [y'(x)]^2 = \frac{1}{3} [y(x)]^3 + C$ 。我们将把这个技巧用在另一个简单的精确积分的例子上。

使用上面的技巧来找到 y(x) 这样 y''(x) = 2 y(x) + 2 [y(x)]^3 与 y(0) = 0 和 y'(0) = 1 。

提示:一旦使用上面的代码将表达式简化为这种形式 y' = g(y) ，你可以通过移动来解 g(y) 化为分母:

$\int dy/g(y) = \int dx$

可能的答案:

$y = \tan(x)$

y = x^3 + x

$y = \sin x$

$y = 2 ~ \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$

$y = \tan^{-1}(x)$

正确答案:

$y = \tan(x)$

解释：

如问题所述，我们得到

y'' = 2y + 2y^3 。

我们可以两边同时乘以 y' = dy/dx ：

y'' y' = 2y y' + 2 y^3 y'

用两种不同的方法来认识链式法则的模式:

$\frac{1}{2}[(y')^2]' = [y^2]' + \frac{1}{2} [y^4]'$

这个收益率:

(y')^2 = C + 2 y^2 + y^4

我们用初始条件解出C，注意到 x=0, y=0 和 y' = 1. 这意味着C必须大于1，这使得右边是一个完全平方:

(y')^2 = 1 + 2 y^2 + y^4 = (1 + y^2)^2

$\frac{dy}{dx} = \pm (1 + y^2)$

要看是用+还是-符号，我们看到导数一开始是正的，所以要用正的平方根。然后根据提示，我们可以将其重写为:

$\int \frac{dy}{1 + y^2} = \int dx$ ，

我们学过用三角代换来解 y = tan(u) 收益率:

$\tan^{-1} y = x + C$

很明显 y = tan(x + C) 事实是 y(0) = 0 这又给了我们 C = 0, 所以 y = tan(x).

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问题8:微分方程的解

所有的函数是什么 y(x) 这样

y''(x) = 1/x ？

可能的答案:

$y = \sqrt{\ln(k x^2)} + C$ 对于任意常数k和C

y = k x + C 对于任意常数k和C

$y = \frac{2}{x^3} + k x + C$ 对于任意常数k和C

$y = e^{k \ln x} + C$ 对于任意常数k和C

$y = x \ln x - k x + C$ 对于任意常数k和C

正确答案:

$y = x \ln x - k x + C$ 对于任意常数k和C

解释：

积分一次，我们得到:

$y'(x) = \int \frac{dx}{x} + C_1 = \ln x + C_1$

第二次积分得到:

$y(x) = \int \ln x ~ dx + C_1 ~ x + C$

我们用分部法对第一项积分 u = ln(x), dv = x 得到:

$y(x) = x ~ \ln x ~-~ \int x ~ \frac{dx}{x} ~+~ C_1 ~ x ~+~ C$

消去x得到:

$y(x) = x ~ \ln x ~+~ \left( C_1 - 1 \right ) x ~+~ C$

定义 k = 1 - C_1 给出上述形式。

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问题9:微分方程的解

斐波那契数列定义为

$F_0 = 0, F_1 = 1, F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$

并且与黄金比例密切相关 $\phi_\pm = (1 \pm \sqrt{5})/2$ ，它解出了非常相似的方程

$\phi^n_\pm = \phi^{n - 1}_\pm + \phi^{n-2}_\pm$ 。

函数的n阶导数定义为:

$y^{(0)}(x) = y(x), y^{(n)}(x) = \frac{d}{dx} y^{(n - 1)}(x)$

查找Fibonacci函数定义如下:

$f^{(n)}(x) = f^{(n-1)}(x) + f^{(n-2)}(x)$

$f^{(0)}(0) = 0, f^{(1)}(0) = 1$

它在0处的导数就是斐波那契数。

可能的答案:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n ~ x^n$

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\phi_+^n}{n!} ~ x^n$

$f(x) = (\phi_+^x - \phi_-^x) / 2$

$f(x) = (e^{x \phi_+} - e^{x \phi_-})/\sqrt{5}$

$f(x) = e^{x/2} \sin(x \sqrt{3/4}) / \sqrt{3/4}$

正确答案:

$f(x) = (e^{x \phi_+} - e^{x \phi_-})/\sqrt{5}$

解释：

来解决 $f^{(n)} = f^{(n-1)} + f^{(n-2)}$ ，我们忽略 n-2 让导数变得简单:

f'' = f' + f

这可以通过假设一个指数函数来解决 $y = C e^{k x}$ ，这就把这个表达变成

k^2 = k + 1 ，

解为 $k = \phi_\pm$ 。我们的通解必须是:

$f(x) = C_+ ~ e^{x \phi_+} + C_- ~ e^{x \phi_-}$

代入初始条件 f(0) = 0 和 f'(0) = 1 ，我们得到:

C_+ + C_- = 0

$C_+ \ \phi_+ ~+~ C_- \ \phi_- = 1$

C_- = - C_+

$C_+ = 1/(\phi_+ - \phi_-) = 1/(\frac{1+\sqrt 5}{2} - \frac{1-\sqrt 5}{2}) = 1/\sqrt{5}$

因此，答案是:

$f(x) = (e^{x \phi_+} - e^{x \phi_-}) / \sqrt{5}$

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问题10:微分方程的解

求给定的特解 y(1)=3 。

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{9x^2}{y^2-4y}$

可能的答案:

y^3-4y^2=9x^3-18

$\frac{1}{3}y^3-2y^2=3x^3-12$

$\frac{1}{3}y^3-2y^2=3x^3+c$

$\frac{1}{3}y^3-2y^2=3x^3+12$

正确答案:

$\frac{1}{3}y^3-2y^2=3x^3-12$

解释：

我们要做的第一件事是重写这个方程

(y^2-4y)dy=(9x^2)dx

我们可以求出积分:

$\int (y^2-4y)dy= \int (9x^2)dx$

积分如下:

$\int (y^2-4y)dy= \frac{1}{3}y^3-2y^2$

$\int (9x^2)dx=3x^3$

剩下的是

$\frac{1}{3}y^3-2y^2=3x^3+c$

然后代入初始条件，解出

$\frac{1}{3}(3)^3-2(3)^2=3(1)^3+c$

9-18=3+c

c=-12

特解为:

$\frac{1}{3}y^3-2y^2=3x^3-12$

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