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微积分1:如何找到预测模型

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示例问题

问题1:如何找到预测模型

假设你是一位银行家，设定了一个非常独特的利率随时间变化的函数

$y=sec(\pi x)$

然而，你发现你的电脑无法计算利率在 x=2.01 ．估计利率的价值为 x=2.01 通过使用线性近似，使用该功能的斜率 x=2 ．

可能的答案：

未定义的

正确答案:

解释：

要做一个线性近似，我们要创建一个函数

y_1=mz+b ，那和我们的情况差不多。在这种情况下，m是函数的斜率 $sec(\pi x)$ 在 x=2 ，而b将是函数的值 $sec(\pi x)$ 在 x=2 ．z是到起始位置的距离 (x=2) 到我们的终点 (x=2.01) ，这是 0.01 ．

首先，我们需要求导 $sec(\pi x)$ 求斜率。

根据权力规则:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (cos(\pi x))^{-1}= -(cos(\pi x))^{-2}*-\pi sin(\pi x)=(cos(\pi x))^{-2}*\pi sin(\pi x)$

处的斜率 x=2 因此从那时起将为0 $sin(2\pi)=0$ ．

在这种情况下，利率的近似值和原始函数在x=2处的值是相同的 $sec(2\pi)=1$ ．

y_1=0*0.01+1=1

1是我们的最终答案。

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问题2:如何找到预测模型

近似于 x=0.02 函数的 $y=3e^{-x}+sec(x)$ ，利用函数在点处的斜率进行线性逼近 x=0 ．

可能的答案：

-3.94

3.94

正确答案:

3.94

解释：

要做到这一点，我们必须确定函数在点处的斜率 x=0 ，我们称之为，以及函数的初始值 x=0 ，我们称之为,自 x=0.02 只是远离 x=0 ，我们的线性近似貌观将如下：

y=m(.02)+b

为了求斜率，我们求函数关于x的导数，然后求它在 x=0 ，在我们的例子中是:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[3e^{-x}+sec(x)]= -3e^{-x}-sec(x)*tan(x).$

在 x=0 ，我们的价值是

来确定，我们需要确定原始方程在 x=0

$y=3e^{-x}+sec(x)$

在 x=0 ， b的值是

自从 y=m(.02)+b ， y=3.94

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问题3:如何找到预测模型

求到的切线 $y=3e^{-x}$ 在 $x=ln(e^{-2})$ ，用切线近似求出点处的值 x=ln(e^3) ．

可能的答案：

-6e^2

e^2

-12e^2

12e^2

正确答案:

-12e^2

解释：

第一次回忆说

$ln(e^{-2})=-2$

找到切线线 $y=3e^{-x}$ 在 x=-2 ，首先求斜率 $y=3e^{-x}$ ．要做到这一点，我们必须找到它的导数。

回想一下指数函数的导数给出:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}Ae^{g(x)}= A*g'(x)e^{g(x)}$ ,在那里为常数 g(x) 是任何功能

在我们的例子中, A=3, g(x)=-x, g'(x)=-1 ，.

$\frac{d}{dx}3e^{-x}= -3e^{-x}$

在 x=-2 ，

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-3e^{-(-2)}}= -3e^2=m$ ,在那里是切线线的斜率。

要使用点斜率形式，我们需要知道原始函数在 x=-2 ，

$y=3e^{-x}$

$y(-2)=3e^{-(-2)}=3e^2$

因此,

$(y_{appx}-3e^2)=-3e^2(x+2)$

在 x=ln(e^3)=3 ，

$(y_{appx}-3e^2)=-3e^2(3+2)$

$y_{appx}=-15e^2+3e^2=-12e^2$

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