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微积分1:预测模型

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例子问题

问题1:如何找到预测模型

假设你是一名银行家，为你的利率建立了一个非常独特的函数

$y=sec(\pi x)$

然而，你发现你的电脑无法计算利息 x=2.01 。估计利率的价值 x=2.01 通过使用线性逼近，使用函数的斜率 x=2 。

可能的答案:

未定义的

正确答案:

解释：

为了做一个线性近似，我们要创建一个函数

y_1=mz+b 这和我们的情况很接近。在本题中，m是函数的斜率 $sec(\pi x)$ 在 x=2 ，而b是函数的值 $sec(\pi x)$ 在 x=2 。z是到起始位置的距离 (x=2) 到我们的结束位置 (x=2.01) ，也就是 0.01 。

首先，我们需要求导数 $sec(\pi x)$ 求出关于x的斜率。

根据幂次法则:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} (cos(\pi x))^{-1}= -(cos(\pi x))^{-2}*-\pi sin(\pi x)=(cos(\pi x))^{-2}*\pi sin(\pi x)$

的斜率 x=2 因此会是0 $sin(2\pi)=0$ 。

既然如此，利率的近似值就等于原函数在x=2处的值，也就是 $sec(2\pi)=1$ 。

y_1=0*0.01+1=1

1是我们的最终答案。

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问题2:如何找到预测模型

近似于 x=0.02 函数的 $y=3e^{-x}+sec(x)$ ，用函数at的斜率作线性逼近 x=0 。

可能的答案:

-3.94

3.94

正确答案:

3.94

解释：

要做到这一点，我们必须确定函数的斜率 x=0 ，我们称之为，函数的初值为 x=0 ，我们称之为，自从 x=0.02 只是远离 x=0 ，我们的线性近似是这样的:

y=m(.02)+b

为了确定斜率，我们对函数关于x求导，求出它在点的值 x=0 ，在我们的例子中是:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[3e^{-x}+sec(x)]= -3e^{-x}-sec(x)*tan(x).$

在 x=0 ，我们的价值是

来确定，我们需要确定原方程的值 x=0

$y=3e^{-x}+sec(x)$

在 x=0 b的值是

自 y=m(.02)+b ， y=3.94

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问题3:如何找到预测模型

确定的切线 $y=3e^{-x}$ 在 $x=ln(e^{-2})$ ，并使用切线近似于的值 x=ln(e^3) 。

可能的答案:

12e^2

e^2

-12e^2

-6e^2

正确答案:

-12e^2

解释：

首先回想一下

$ln(e^{-2})=-2$

求的切线 $y=3e^{-x}$ 在 x=-2 ，我们首先确定的斜率 $y=3e^{-x}$ 。要做到这一点，我们必须找到它的导数。

回想一下，指数函数的导数包含分别为:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}Ae^{g(x)}= A*g'(x)e^{g(x)}$ ,在那里是一个常数 g(x) 的函数是

在我们的例子中， A=3, g(x)=-x, g'(x)=-1 ，.

$\frac{d}{dx}3e^{-x}= -3e^{-x}$

在 x=-2 ，

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-3e^{-(-2)}}= -3e^2=m$ ,在那里是切线的斜率。

为了使用点斜式，我们需要知道原函数的值 x=-2 ，

$y=3e^{-x}$

$y(-2)=3e^{-(-2)}=3e^2$

因此,

$(y_{appx}-3e^2)=-3e^2(x+2)$

在 x=ln(e^3)=3 ，

$(y_{appx}-3e^2)=-3e^2(3+2)$

$y_{appx}=-15e^2+3e^2=-12e^2$

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