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演算一:如何寻找距离

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实例问题

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示例问题51距离问题

方程给定对象速度 v(t) = 10 - 12t^2 .物体所覆盖的距离从何而来 t =2 至 t =3 ?

可能的答案 :

正确回答 :

解释:

对象覆盖距离等量对象集成速度 t =2 至 t =3 .速度方程集成使用权规则

$f'(x) = x^n \rightarrow f(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

距离对象覆盖

$s = \int_2^3 (10 -12t^2)dt = \frac{10t^{(0+1)}}{0+1} - \frac{12t^{2+1}}{2+1}]_2^3 = 10t - 4t^3]_2^3$

s = 10(3) - 4(3)^3 - 10(2) + 4(2)^3 = 30 - 108 - 20 +32 = -66

示例问题#52距离问题

速度快艇定义方程 v(t)=12t+7 .快速艇相隔多远 t=3 并 t=4 ?

可能的答案 :

正确回答 :

解释:

距离问题 d(t) 物体在一定时间穿行等于该物体在时间间速度的确定积分

问题集成时使用权规则权规则表示

$\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

故此例

$d(t)=\int_{3}^{4}v(t)dt=\int_{3}^{4}(12t+7)dt=\left [ 6t^{2}+7t\right ]_{3}^{4}$ .

解决积分,我们得到 $[6(4)^{2}+7(4)]-[6(3)^{2}+7(3)]=124-75=49$ .

示例问题53距离问题

粒子速度由方程定义 v(t)=4t+6 .粒子相距多远 t=5 并 t=6 ?

可能的答案 :

正确回答 :

解释:

距离问题 d(t) 物体在一定时间穿行等于该物体在时间间速度的确定积分

问题集成时使用权规则权规则表示

$\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

故此例

$d(t)=\int_{5}^{6}v(t)dt=\int_{5}^{6}(4t+6)dt=\left [ 2t^{2}+6t\right ]_{5}^{6}$ .

解决积分,我们得到

$[2(6)^{2}+6(6)]-[2(5)^{2}+6(5)]=108-80=28$ .

示例问题54距离问题

速度一车由方程定义 v(t)=2t+3 .车间距离 t=2 并 t=3 ?

可能的答案 :

正确回答 :

解释:

距离问题 d(t) 物体在一定时间穿行等于该物体在时间间速度的确定积分

问题集成时使用权规则权规则表示

$\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

故此例

$d(t)=\int_{2}^{3}v(t)dt=\int_{2}^{3}(2t+3)dt=\left [ t^{2}+3t\right ]_{2}^{3}$ .

解决积分,我们得到

$[(3)^{2}+3(3)]-[(2)^{2}+3(2)]=18-10=8$ .

示例问题55距离问题

给定对象速度由方程定义 v(t)=8t-5 .相隔多远 t=1 并 t=2 ?

可能的答案 :

正确回答 :

解释:

举此例子,我们正在寻找对象相距距离 t=1 并 t=2 .

距离可定义为确定速度分解对于这个特殊问题,我们将使用权力规则声明

$\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

因此,我们需要查找

$\int_{1}^{2}v(t)dt=\int_{1}^{2}(8t-5)dt=\left [ 4t^{2}-5t\right ]_{1}^{2}$ .

解决此积分后,我们得到:

$\left [ 4t^{2}-5t\right ]_{1}^{2}$

$=[4(2)^{2}-5(2)]-[4(1)^{2}-5(1)]$

=[16-10]-[4-5]

=6-[-1]

=6+1

示例问题#56距离问题

汽车速度由方程定义 v(t)=6t+7 .相隔多远 t=3 并 t=4 ?

可能的答案 :

正确回答 :

解释:

举个例子,我们想找车间距离 t=3 并 t=4 .

距离可定义为确定速度分解对于这个特殊问题,我们将使用权力规则声明

$\int x^n =\frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

因此,我们需要查找

$\int_{3}^{4}v(t)dt=\int_{3}^{4}(6t+7)dt=\left [ 3t^{2}+7t\right ]_{3}^{4}$ .

解决此积分后,我们得到:

$\\ \left [ 3t^{2}+7t\right ]_{3}^{4}=(3(4)^{2}+7(4))-(3(3)^{2}+7(3)) \\ \\=(48+28)-(27+21)\\ \\=76-48\\ \\=28$

例子问题57距离问题

蜂鸟速度由方程定义 v(t)=10t+1 .相隔多远 t=4 并 t=5 ?

可能的答案 :

正确回答 :

解释:

举个例子,我们正在寻找蜂鸟相隔距离 t=4 并 t=5 .

距离可定义为确定速度分解

关于这个问题,我们将使用权规则整合状态

$\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ .

因此,我们需要查找

$\int_{4}^{5}v(t)dt=\int_{4}^{5}(10t+1)dt=\left [ 5t^{2}+t\right ]_{4}^{5}$ .

解决此积分后,我们得到:

$\left [ 5t^{2}+t\right ]_{4}^{5}$

$=[5(5)^{2}+(5)]-[5(4)^{2}+(4)]$

=[125+5]-[80+4]

=130-84

=46

示例问题#58距离问题

赛车以恒值50米/秒行驶时,司机突然按下刹车假设常减速10m/s²车到完全停机前会走多远

可能的答案 :

125 meters

150 meters

225 meters

信息不足

正确回答 :

125 meters

解释:

寻找汽车位置变换,让我们从汽车加速函数开始

a(t)

自加速不随时间变化,它有恒定值

$a(t) = -10 m/s^{2}$

负表示减速

之后我们可以整合此函数时间查找速度

$v(t) = ( -10 m/s^2 ) \cdot t + v_{0}$

去哪儿₀表示初始速度,以50m/s表示

我们想知道时间汽车休眠, 意指在哪里v_R)=0

解析

$(-10 m/s^2 )\cdot t_{r} + 50 m/s = 0$

面向t_R5s提供时间休息

现在,我们可以整合速度函数时间查找定位函数

$x(t_{r}) = x_{0} + v_{0}t_{r} + (1/2)at_{r}^2$

因为我们对休眠时绝对位置不感兴趣,变换定位中,我们可以移动x₀词对方程的另一端

$x(t_{r}) - x_{0} = v_{0}t_{r} + (1/2)at_{r}^2$

插进我们的值

$v_{0}:(50 m/s)$

a:(-10m/s^2)

并

t_r:(5 s)

车在刹车撞击后走多远

$(x(t_{r}) - x_0)$ 量性化 125 m .

示例问题59距离问题

猎豹速度由方程定义 v(t)=18t-4 .距离多广 t=4 并 t=5 ?

可能的答案 :

正确回答 :

解释:

以查找相间距离 t=4 并 t=5 ,我们需要取确定积分速度 v(t) .

先定义确定积分

$\int_{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$

连续函数闭合区间 [a,b] 带抗衍生物.

使用逆权规则

$\int t^{n}dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C$

带常量并 $n\neq-1$ ,因此我们可以判定

$\int_{4}^{5}v(t)dt=\int_{4}^{5}(18t-4)dt=\left [ 9t^{2}-4t\right ]_{4}^{5}$ .

完成积分 :

$\left [ 9t^{2}-4t\right ]_{4}^{5}=(9(5)^{2}-4(5))-(9(4)^{2}-4(4))=205-128=77$

示例问题#60距离问题

火车速度由方程定义 v(t)=12t+7 .距离多广 t=3 并 t=4 ?

可能的答案 :

正确回答 :

解释:

以查找相间距离 t=3 并 t=4 ,我们需要取确定积分速度 v(t) .

先定义确定积分

$\int_{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$ 连续函数闭合区间 [a,b] 带抗衍生物.

使用逆权规则

$\int t^{n}dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C$

带常量并 $n\neq-1$ ,因此我们可以判定

$\int_{3}^{4}v(t)dt=\int_{3}^{4}(12t+7)dt=\left [ 6t^{2}+7t\right ]_{3}^{4}$ .

完成积分 :

$\left [ 6t^{2}+7t\right ]_{3}^{4}=(6(4)^{2}+7(4))-(6(3)^{2}+7(3))=124-75=49$ .

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