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微积分1:距离

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例子问题

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例子问题1:如何找到距离

求(-1,0,5)点和(3,4,1)点之间的线段中点。

可能的答案:

(4、2、2)

(1、2、3)

(2、2、3)

正确答案:(1、2、3)

解释：

中点的坐标就是这两点坐标的平均值。

([-1+3]/2， [0+4]/2， [5+1]/2)

=(2/ 2,4 / 2,6 /2)

=(1、2、3)

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例子问题1:如何找到距离

如果一个物体在t时刻的加速度是a(t) = cos(t) + 6，从t = 2时刻到t = 4时刻这个质点的位移是多少如果它的初速度是4m / s?

可能的答案:

64.65米

647.12米

20.42米

其他答案都没有

44.24米

正确答案:

44.24米

解释：

为了求出这个位移，我们可以对a(t)求二重积分。为了简单起见，让我们定义如下:

V (t) =∫(a(t) dt) s(t) =∫(V (t) dt)

积分相当简单:

V (t) = sint + 6t + c₁

为了解出c₁，我们知道t = 0时，初速度是4。这意味着v(0) = sin(0) + 6 * 0 + c₁= 4;sin0 = 0，所以我们知道c₁= 4

因此，v(t) = sint + 6t + 4

S (t) = -cos (t) + 3t²4 * t + c₂(最后一个常数会在我们求解的时候去掉。)

因为我们知道物体的位置总是在增加(基于初始的正速度和加速度，根据它的方程，加速度必须总是正的)，总位移只需用s(4)减去s(2):

S (4) = -cos (4) + 3*4²+ 16 + c₂= -cos (4) + 48 + 16 + c₂= -cos (4) + 64 + c₂

S (2) = -cos (2) + 3*2²+ 8 + c₂= -cos (2) + 12 + 8 + c₂= -cos (2) + 20 + c₂

S (4) - S (2) = - cos(4) + 64 + cos(2) - 20 = 44.237496784317(约)或44.24

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例子问题3:如何找到距离

给定粒子在t时刻的速度由方程v(t) = 4t - 3给出

粒子从时间t = 4到时间t = 8移动了多远?

可能的答案:

其他答案都没有

104

20.

正确答案:

解释：

为了求位置变化量，我们必须对速度函数求定积分

∫[4,8](4t - 3)dt = [4,8](2t²- 3t) = (2 * 8²- 3 * 8) - (2 * 4²- 3 * 4)

= 2 * 64 - 24 - (2 * 16 - 12) = 104 - 20 = 84

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问题4:如何找到距离

物体的速度，以米每秒为单位，由下面的方程给出:

v(t)=30t+7

求物体经过的距离 t=1 来 t=2 秒。

可能的答案:

meters

正确答案:

meters

解释：

为了求出物体在一定时间内走过的距离，我们需要一个关于它的位置的方程。我们已知它的速度方程，所以如果我们把方程从t=1积分到t=2秒，我们会得到物体在这段时间内运动的距离:

$\int_{1}^{2}v(t)dt=\int_{1}^{2}(30t+7)dt=[15t^2+7t]_1^2$

=[15(2)^2+7(2)]-[15(1)^2+7(1)]=74-22=52 meters

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例子问题1:如何找到距离

求物体经过的距离 t=2 来 t=5 如果物体的速度，以m/s为单位，用下面的方程描述:

$v(t)=\frac{1}{4}t-\frac{1}{2}$

可能的答案:

$\frac{5}{2}$

$\frac{25}{8}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{9}{8}$

正确答案:

$\frac{9}{8}$

解释：

为了求出物体移动的距离，我们需要一个位置方程。如果速度是位置的导数，那么我们必须对给定方程从t=2到t=5进行积分，以得到物体在该区间内运动的总距离:

$\int_{2}^{5}\left(\frac{1}{4}t-\frac{1}{2}\right)dt=\left[\frac{1}{8}t^2-\frac{1}{2}t\right]_{2}^{5}=\left(\frac{25}{8}-\frac{5}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)=\frac{9}{8}$

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例子问题6:如何找到距离

求连接点的线段中点 (-2,7) 而且 (6,-3) ．

可能的答案:

(2,2)

(-2,2)

这些答案都不正确。

(-2,4)

正确答案:

(2,2)

解释：

为了找到两点之间的中点，可以取坐标的平均值:

$\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right )$

在哪里 (x_1,y_1)=(-2,7) 而且 (x_2,y_2)=(6,-3)

代入这些值，就得到了中点。

$\left(\frac{-2+6}{2},\frac{7-3}{2}\right) = \left(\frac{4}{2},\frac{4}{2}\right) = (2,2)$

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示例问题7:如何找到距离

如果一个物体在时间上的加速度是由 a(t) = t^2+3t+12 这个质点的位移是多少 t =1 来 t=2 ，如果初速度是．

可能的答案:

23.4

24.75

18.9

22.55

正确答案:

24.75

解释：

为了求出物体的位移，我们可以对加速度方程积分两次。

对加速度方程积分一次会得到:

$v(t) = \frac{t^{2+1}}{2+1}+\frac{3t^{1+1}}{1+1}+12\cdott+C = \frac{1}{3}t^3 + \frac{3}{2}t^2+12t+C$

因为初速度= 2，我们可以设 v(0) =2 ．因此,

$v(0) = \frac{1}{3}(0)^3+\frac{3}{2}(0)^2+12(0)+C = 2$

因此, C = 2 ．

我们现在可以用这个在速度方程中给出

$v(t) = \frac{1}{3}t^3+\frac{3}{2}t^2+12t+2$

对速度方程积分 t = 1 来 t = 2 会给出距离

$\int_{5}^{7}\left[\frac{1}{3}t^3+\frac{3}{2}t^2+12t+2\right]dt \rightarrow$

$\rightarrow \frac{(2)^4}{12}+\frac{(2)^3}{2}+6(2)^2+2(2)+C- \frac{(1)^4}{12}-\frac{(1)^3}{2}-6(1)^2-2(1)-C$

$\rightarrow \frac{16}{12}+\frac{8}{2}+24+4- \frac{1}{12}-\frac{1}{2}-6-2 = 24.75$

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例8:如何找到距离

质点在时间上的速度是由方程给出的 v(t) = 10t-7 ．这个粒子的运动距离有多远 t =2 来 t = 6 ?

可能的答案:

132

正确答案:

132

解释：

为了求出行进的距离，我们必须对速度方程积分

$x(t) = \int_{2}^{6}10t-7dt = 5(6)^2 - 7(6)-5(2)^2+7(2)$

x(t) = 180 - 42 -20 +14 = 132

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问题9:如何找到距离

求第一点到第二点的距离。

第一点: (0,4)

第二点: (2,6)

可能的答案:

$distance=\sqrt{3}$

$distance=2\sqrt{2}$

$distance=2\sqrt{3}$

$distance=\sqrt{2}$

distance=2

正确答案:

$distance=2\sqrt{2}$

解释：

为了求出两点之间的距离，我们需要求出两点之间的x坐标和y坐标之差。

所以x坐标是

2-0=2

y坐标是

6-4=2

所以x坐标和y坐标是

(2,2)

距离可以用

$distance=\sqrt{x^2+y^2}$

代入

$distance=\sqrt{2^2+2^2}$

$distance=\sqrt{4+4}$

$distance=\sqrt{8}$

$distance=2\sqrt{2}$

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例子问题10:如何找到距离

假设有两个学生走在一条圆形的路上。我们进一步假设这些路径以原点为中心。第一个的半径是，秒的半径为．一个学生停了下来，被定位在 (0,2) ．如果另一个学生走在半径圆的上半部分，两个学生之间的距离是多少?

可能的答案:

$\sqrt{2x^2+5\sqrt{1-x^2}}$

$\sqrt{x^2+5-4\sqrt{1-x^2}}$

$\sqrt{2x^2+5-4\sqrt{1-x^2}}$

$\sqrt{5-4\sqrt{1-x^2}}$

$\sqrt{2x^2-4\sqrt{1-x^2}}$

正确答案:

$\sqrt{5-4\sqrt{1-x^2}}$

解释：

我们将用距离公式来说明这个结果。回想一下有两个坐标的点 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ ，则这两点之间的距离为:

$\sqrt {(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}$ ．我们称第一个点为不动点 (0,2) ．要找到第二个点，请注意半径为1的圆的方程为:

x^2+y^2=1 ．因为我们要求的是上半部分，所以通过解出y，我们有:

$y=\sqrt{1-x^2}$ 在这种情况下，我们只需要上半部分，这就是为什么y是 $\ge 0$ ．

因此我们的第二点是 $(x,y)=(x,\sqrt{1-x^2})$ ．

用距离公式，我们有: $\sqrt{(x-0)^2+(\sqrt{1-x^2}-2)^2)}$ ．

我们需要稍微简化一下这个表达式:

$=\sqrt{x^2+4 -4\sqrt{1-x^2}+1-x^2}$

这在取消和添加后最终给出:

$\sqrt{5-4\sqrt{1-x^2}$

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