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微积分1:如何找到速率的近似值

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例子问题

问题1:如何找到速率的近似

求的平均变化率 x^2+x+1 在时间间隔 x=[0, 5] ．

可能的答案:

31/5

正确答案:

解释：

一个函数的变化率是它在给定时间内的变化量。

用数学术语来说，这可以写成

$r=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

我们加入我们的价值观:

$\frac{5^2+5+1-0^2-0-1}{5-0} = \frac{30}{5}=6$

请注意，这只是一个平均值，因为二次函数的变化速度取决于你在函数定义域的位置。

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问题2:近似的速度

让 $f(x) = ln(e^{x}-sin(\pi -\pi x))$ ．用线性近似来估计 $f(\frac{3}{2})$ ．

可能的答案:

$\frac{\pi }{e^{3/2}}$

$2-\frac{\pi }{e^{3/2}}$

$1-\frac{\pi }{e^{3/2}}$

$\frac{3}{2}$

正确答案:

$2-\frac{\pi }{e^{3/2}}$

解释：

注意:

f(1)= ln(e-sin(0))= lne =1

因此，对于相对接近1的值，我们可以用dy的公式(导数的微分形式)来估计f在接近值处的值。

$dy= \frac{e^{x}+\pi cos(\pi -\pi x)}{e^{x}-sin(\pi -\pi x)}dx$ 用链式法则求对数导数。

自 $\frac{3}{2}$ 谎言 $\frac{1}{2}$ 在右边， $dx = \frac{1}{2}$ 而且 x=1 对于估算，有:

$dy = \frac{e^{3/2}+\pi cos(-\pi )}{e^{3/2}} = 1-\frac{\pi }{e^{3/2}}$

然后:

$f(3/2) \approx1+1-\frac{\pi }{e^{3/2}} = 2-\frac{\pi }{e^{3/2}}$

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问题3:近似的速度

使用 $(1+x)^{k}\approx1+kx$ 的近似值 $(0.985)^{50}.$

可能的答案:

1.0

0.75

1.25

1.75

0.25

正确答案:

0.25

解释：

首先，我们需要重新排列给定的公式来匹配近似公式。 0.985 = 1-0.015. 因此, $(0.985)^{50}=(1-0.015)^{50}=1-50(0.015)=0.25.\textup{}$

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问题4:近似的速度

立方体在变小。立方体的体积的损失率和它的边的损失率的比值是什么当它的边有长度时 $\frac{7}{30}$ ?

可能的答案:

$\frac{49}{2700}$

$\frac{7}{900}$

$\frac{49}{300}$

$\frac{7}{300}$

$\frac{49}{900}$

正确答案:

$\frac{49}{300}$

解释：

首先写出一个立方体的维数方程。也就是用边长表示的体积:

V=s^3

体积的变化率可以通过对方程两边对时间求导得到:

$\frac{dV}{dt}=3s^2\frac{ds}{dt}$

现在，知道了边长，简单地除以，就能得到体积变化率和边长的比值:

$3s^2\frac{ds}{dt}=(\phi)\frac{ds}{dt}$

$\phi=3s^2$

$\phi =3(\frac{7}{30})^2=\frac{49}{300}$

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问题5:近似的速度

立方体在变小。立方体的体积的损失率和它的边的损失率的比值是什么当它的边有长度时 $\frac{13}{15}$ ?

可能的答案:

$\frac{169}{675}$

$\frac{169}{225}$

$\frac{13}{75}$

$\frac{13}{225}$

$\frac{169}{75}$

正确答案:

$\frac{169}{75}$

解释：

首先写出一个立方体的维数方程。也就是用边长表示的体积:

V=s^3

体积的变化率可以通过对方程两边对时间求导得到:

$\frac{dV}{dt}=3s^2\frac{ds}{dt}$

现在，知道了边长，简单地除以，就能得到体积变化率和边长的比值:

$3s^2\frac{ds}{dt}=(\phi)\frac{ds}{dt}$

$\phi=3s^2$

$\phi =3(\frac{13}{15})^2=\frac{169}{75}$

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问题6:近似的速度

立方体在变小。立方体的体积的损失率和它的边的损失率的比值是什么当它的边有长度时 $\frac{1}{30}$ ?

可能的答案:

$\frac{1}{2700}$

$\frac{1}{810}$

$\frac{1}{300}$

$\frac{1}{90}$

$\frac{1}{900}$

正确答案:

$\frac{1}{300}$

解释：

首先写出一个立方体的维数方程。也就是用边长表示的体积:

V=s^3

体积的变化率可以通过对方程两边对时间求导得到:

$\frac{dV}{dt}=3s^2\frac{ds}{dt}$

现在，知道了边长，简单地除以，就能得到体积变化率和边长的比值:

$3s^2\frac{ds}{dt}=(\phi)\frac{ds}{dt}$

$\phi=3s^2$

$\phi =3(\frac{1}{30})^2=\frac{1}{300}$

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