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微积分1:速率近似

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例子问题

例子问题1:如何找到近似的速率

求的平均变化率 x^2+x+1 在时间间隔内 x=[0, 5] ．

可能的答案:

31/5

正确答案:

解释：

函数的变化率是指它在给定时间内的变化量。

用数学术语来说，这可以写成

$r=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

我们加入我们的价值观:

$\frac{5^2+5+1-0^2-0-1}{5-0} = \frac{30}{5}=6$

注意，这只是一个平均值，因为二次函数的变化速率取决于你在函数域中的位置。

例子问题2:近似速率

让 $f(x) = ln(e^{x}-sin(\pi -\pi x))$ ．使用线性近似进行估计 $f(\frac{3}{2})$ ．

可能的答案:

$\frac{\pi }{e^{3/2}}$

$2-\frac{\pi }{e^{3/2}}$

$1-\frac{\pi }{e^{3/2}}$

$\frac{3}{2}$

正确答案:

$2-\frac{\pi }{e^{3/2}}$

解释：

注意:

f(1)= ln(e-sin(0))= lne =1

因此，对于相对接近1的值，我们可以使用dy的公式(导数的微分形式)来估计接近值处的f。

$dy= \frac{e^{x}+\pi cos(\pi -\pi x)}{e^{x}-sin(\pi -\pi x)}dx$ 用链式法则求导。

自 $\frac{3}{2}$ 谎言 $\frac{1}{2}$ 的右边， $dx = \frac{1}{2}$ 而且 x=1 对于估计，有:

$dy = \frac{e^{3/2}+\pi cos(-\pi )}{e^{3/2}} = 1-\frac{\pi }{e^{3/2}}$

然后:

$f(3/2) \approx1+1-\frac{\pi }{e^{3/2}} = 2-\frac{\pi }{e^{3/2}}$

例子问题3:近似速率

使用 $(1+x)^{k}\approx1+kx$ 的近似值 $(0.985)^{50}.$

可能的答案:

1.0

0.75

1.25

1.75

0.25

正确答案:

0.25

解释：

首先，我们需要重新排列给定值以匹配近似公式。 0.985 = 1-0.015. 因此, $(0.985)^{50}=(1-0.015)^{50}=1-50(0.015)=0.25.\textup{}$

问题4:近似速率

立方体在变小。立方体的体积损失率与边长损失率之比是多少 $\frac{7}{30}$ ?

可能的答案:

$\frac{49}{2700}$

$\frac{7}{900}$

$\frac{49}{300}$

$\frac{7}{300}$

$\frac{49}{900}$

正确答案:

$\frac{49}{300}$

解释：

首先写出立方体的维数方程。即用边长表示的体积:

V=s^3

体积的变化率可以通过对方程两边对时间求导得到:

$\frac{dV}{dt}=3s^2\frac{ds}{dt}$

现在，知道了边长，简单地除法就能求出体积与边长的变化率之比:

$3s^2\frac{ds}{dt}=(\phi)\frac{ds}{dt}$

$\phi=3s^2$

$\phi =3(\frac{7}{30})^2=\frac{49}{300}$

例5:近似速率

立方体在变小。立方体的体积损失率与边长损失率之比是多少 $\frac{13}{15}$ ?

可能的答案:

$\frac{169}{675}$

$\frac{169}{225}$

$\frac{13}{75}$

$\frac{13}{225}$

$\frac{169}{75}$

正确答案:

$\frac{169}{75}$

解释：

首先写出立方体的维数方程。即用边长表示的体积:

V=s^3

体积的变化率可以通过对方程两边对时间求导得到:

$\frac{dV}{dt}=3s^2\frac{ds}{dt}$

现在，知道了边长，简单地除法就能求出体积与边长的变化率之比:

$3s^2\frac{ds}{dt}=(\phi)\frac{ds}{dt}$

$\phi=3s^2$

$\phi =3(\frac{13}{15})^2=\frac{169}{75}$

例子问题6:近似速率

立方体在变小。立方体的体积损失率与边长损失率之比是多少 $\frac{1}{30}$ ?

可能的答案:

$\frac{1}{2700}$

$\frac{1}{810}$

$\frac{1}{300}$

$\frac{1}{90}$

$\frac{1}{900}$

正确答案:

$\frac{1}{300}$

解释：

首先写出立方体的维数方程。即用边长表示的体积:

V=s^3

体积的变化率可以通过对方程两边对时间求导得到:

$\frac{dV}{dt}=3s^2\frac{ds}{dt}$

现在，知道了边长，简单地除法就能求出体积与边长的变化率之比:

$3s^2\frac{ds}{dt}=(\phi)\frac{ds}{dt}$

$\phi=3s^2$

$\phi =3(\frac{1}{30})^2=\frac{1}{300}$

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