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微积分1:微分方程

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例子问题

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问题11:如何找到微分方程的解

找到 f'(2) 下式:

f(x)=x^3+4x^2-7x-9

可能的答案:

正确答案:

解释：

先求导，然后求x=2时的值。

f(x)=x^3+4x^2-7x-9

用幂法则求导数，

f(x)=x^n 导数是 $f'(x)=nx^{n-1}$ ．

因此，函数的导数为:

f'(x)=3x^2+8x-7

f'(2)=3(2)^2+8(2)-7=21

例子问题12:如何找到微分方程的解

找到 f'(1) 对于下式:

f(x)=3x^5(2x+4)

可能的答案:

未定义的

正确答案:

解释：

为了求出这个函数的导数，我们需要使用乘法法则，即第一个函数乘以第二个函数的导数，再加上第二个函数和第一个函数的导数的乘积。换句话说，

$f'(x)=h(x)\cdot g'(x)+g(x)\cdot h'(x)$

为了做到这一点，我们将，

h(x)=3x^5 而且 g(x)=2x+4

h'(x)=15x^4 而且 g'(x)=2

现在我们可以通过代入这些方程来求导数。

f(x)=3x^5(2x+4)

f'(x)=15x^2(2x+4)+3x^5(2)

现在代入x=1并求解。

f'(1)=15(1)^2(2(1)+4)+3(1)^5(2)=96

示例问题13:如何找到微分方程的解

求下式的解 f'(x)=-2

f(x)=4x^3-6x+1

可能的答案:

未定义的

正确答案:

解释：

要求解，我们必须先求导数，然后求解x=-2时的值。

为了求函数的导数，我们将使用幂法则:

$f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$

因此,

f(x)=4x^3-6x+1

f'(x)=12x^2-6

现在要解出-2，把它代入x值。

f'(-2)=12(-2)^2-6=48-6=42

问题14:如何找到微分方程的解

找到 f'(3) 对于下式:

$f(x)=\ln(x)+7x^2-19x$

可能的答案:

$23\frac{1}{3}$

$\frac{23}{3}$

$\ln(3)+6$

$\ln(3)+23$

正确答案:

$23\frac{1}{3}$

解释：

首先，求导数。然后在x=3处求值。

对于这个函数，我们将使用幂法则求导数。

$f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$

还记得导数 $\ln(x)$ 是 $\frac{1}{x}$ ．

因此我们得到，

$f(x)=\ln(x)+7x^2-19x$

$f'(x)=\frac{1}{x}+14x-19$

$f'(3)=\frac{1}{3}+14(3)-19=23\frac{1}{3}$

例子问题15:如何找到微分方程的解

求已知的特解 $y ( \frac{1}{2} )= -1$ ．

$\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x}=2xy^2$

可能的答案:

$-\frac{1}{3y^3}=x^2+\frac{1}{12}$

$-\frac{3}{y^3}=x^2+\frac{11}{4}$

$-\frac{1}{y}=x^2+\frac{3}{4}$

$\frac{1}{y}=x^2+\frac{5}{4}$

正确答案:

$-\frac{1}{y}=x^2+\frac{3}{4}$

解释：

我们要做的第一件事是重写这个方程:

$\left(\frac{1}{y^2}\right)dy=(2x) dx$

然后我们可以求出积分:

$\int \left(\frac{1}{y^2}\right)dy=\int (2x) dx$

The积分如下:

$\int \left(\frac{1}{y^2}\right)dy= \int y^{-2} = -1y^{-1}=-\frac{1}{y}$

$\int (2x) dx=x^2$

剩下的是:

$-\frac{1}{y}=x^2+c$

然后我们代入初始条件并求解

$-\frac{1}{(-1)}=\left(\frac{1}{2}\right)^2+c$

$1=\left(\frac{1}{4}\right)+c$

$c=\frac{3}{4}$

特解为:

$-\frac{1}{y}=x^2+\frac{3}{4}$

例子问题16:如何找到微分方程的解

求已知的特解 $y\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}$ ．

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=6x^2y^2$

可能的答案:

$-\frac{1}{3y^3}=2x^3+\frac{259}{12}$

$-\frac{1}{y}=2x^3+\frac{1}{8}$

$-\frac{1}{y}=2x^3+\frac{17}{4}$

$-\frac{1}{y}=2x^3+\frac{1}{2}$

正确答案:

$-\frac{1}{y}=2x^3+\frac{17}{4}$

解释：

我们要做的第一件事是重写这个方程:

$\left(\frac{1}{y^2}\right)dy=(6x^2)dx$

然后我们可以求出积分:

$\int \left(\frac{1}{y^2}\right)dy=\int (6x^2)dx$

积分如下:

$\int \left(\frac{1}{y^2}\right)dy=-\frac{1}{y}$

$\int (6x^2)dx=2x^3$

剩下的是:

$-\frac{1}{y}=2x^3+c$

然后我们代入初始条件并求解

$-\frac{1}{(-\frac{1}{4})}=2\left(-\frac{1}{2}\right)^3+c$

$4=-\frac{1}{4}+c$

$c=\frac{17}{4}$

特解为:

$-\frac{1}{y}=2x^3+\frac{17}{4}$

问题17:如何找到微分方程的解

求已知的特解 $y(4)=\frac{256}{9}$ ．

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\sqrt{xy}$

可能的答案:

$\sqrt{y}=\frac{3}{2}(x)^\frac{3}{2}$

$\sqrt{y}=\frac{2}{3}(x)^\frac{3}{2} -\frac{32}{3}$

$y=x^\frac{3}{2}$

$2\sqrt{y}=\frac{2}{3}(x)^\frac{3}{2}+\frac{16}{3}$

正确答案:

$2\sqrt{y}=\frac{2}{3}(x)^\frac{3}{2}+\frac{16}{3}$

解释：

记住: $\sqrt{xy}=(\sqrt{x} ) (\sqrt{y})$

我们要做的第一件事是重写这个方程:

$\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)dy=(\sqrt{x})dx$

然后我们可以求出积分:

$\int \left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)dy=\int (\sqrt{x})dx$

积分如下:

$\int \left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)dy= \int y^{-1/2}dy=\frac{y^{1/2}}{\frac{1}{2}}=2y^{1/2}=2\sqrt{y}$

$\int (\sqrt{x})dx=\frac{2}{3}(x^{\frac{3}{2}})$

剩下的是:

$2\sqrt{y}=\frac{2}{3}(x)^{\frac{3}{2}}+c$

然后我们代入初始条件并求解

$2\sqrt{\frac{256}{9}}= \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}}+c$

$\frac{32}{3}=\frac{16}{3}+c$

$c=\frac{16}{3}$

特解为:

$2\sqrt{y}=\frac{2}{3}(x)^{\frac{3}{2}}+\frac{16}{3}$

示例问题18:如何找到微分方程的解

求已知的特解 y(1)=0 ．

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{5x^4}{y^2+4y^3}$

可能的答案:

$\frac{1}{3}y^3+y^4=x^5-1$

$\frac{1}{3}y^3+y^4=x^5$

$y^3+\frac{1}{4}y^4=\frac{1}{5}x^5-1$

$\frac{1}{3}y^3+y^4=x^5+\frac{4}{3}$

正确答案:

$\frac{1}{3}y^3+y^4=x^5-1$

解释：

我们要做的第一件事是重写这个方程:

(y^2+4y^3)dy=(5x^4)dx

然后我们可以求出积分:

$\int (y^2+4y^3)dy=\int (5x^4)dx$

积分如下:

$\int (y^2+4y^3)dy=\frac{1}{3}y^3+y^4$

$\int (5x^4)dx=x^5$

剩下的是

$\frac{1}{3}y^3+y^4=x^5+c$

我们代入初始条件并解出

$\frac{1}{3}(0)^3+(0)^4=(1)^5+c$

c=-1

特解为:

$\frac{1}{3}y^3+y^4=x^5-1$

例19:如何找到微分方程的解

求已知的特解 y(2)=1 ．

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{2x^3+3x^2-x+7}{y^5+3y^2-2y}$

可能的答案:

$\frac{1}{6}y^6+y^3-y^2=\frac{1}{2}x^4+x^3-\frac{1}{2}x^2+7x-\frac{167}{6}$

$\frac{1}{6}y^6+y^3-y^2=\frac{1}{2}x^4+x^3-\frac{1}{2}x^2+7x$

$\frac{1}{6}y^6+y^3-y^2=\frac{1}{2}x^4+x^3-\frac{1}{2}x^2+7x-28$

$y^6+y^3-y^2=\frac{1}{8}x^4+x^3-\frac{1}{2}x^2-7$

正确答案:

$\frac{1}{6}y^6+y^3-y^2=\frac{1}{2}x^4+x^3-\frac{1}{2}x^2+7x-\frac{167}{6}$

解释：

我们要做的第一件事是重写这个方程:

$({y^5+3y^2-2y})dy=({2x^3+3x^2-x+7})dx$

然后我们可以求出积分:

$({y^5+3y^2-2y})dy=({2x^3+3x^2-x+7})dx$

积分如下:

$\int ({y^5+3y^2-2y})dy=\frac{1}{6}y^6+y^3-y^2$

$\int ({2x^3+3x^2-x+7})dx=\frac{1}{2}x^4+x^3-\frac{1}{2}x^2+7x$

剩下的是

$\frac{1}{6}y^6+y^3-y^2=\frac{1}{2}x^4+x^3-\frac{1}{2}x^2+7x+c$

代入初始条件，解出c，得到:

$\frac{1}{6}+1-1=8-8-2+14+c$

$c=-\frac{167}{6}$

特解是，

$\frac{1}{6}y^6+y^3-y^2=\frac{1}{2}x^4+x^3-\frac{1}{2}x^2+7x-\frac{167}{6}$

例子问题20:如何找到微分方程的解

对多项式求导。

$x^{2}+4x+1$

可能的答案:

2x+4

$x^{2}+1$

$2x^{2}+4x$

x+1

4x+1

正确答案:

2x+4

解释：

使用幂法则，我们可以对第一项进行微分，将幂减1，然后将这一项乘以原始的幂。 $x^{2}$ ，就会变成．第二项，就会变成．最后一项是常数，所以根据幂法则这一项将变成．

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