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AP物理C:力学:使用扭矩方程

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例子问题

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问题51:Ap物理C

物体从静止开始，加速到角速度为 $12\frac{rad}{s}$ 在三秒钟的恒定扭矩下 $50\ N\cdot m$ ．这个物体在这段时间里转了几圈?

可能的答案:

2.6

2.9

3.4

3.1

正确答案:

2.9

解释：

由于它经历了恒定的扭矩和恒定的角加速度，角位移可以用以下公式计算:

$\Delta \theta =\omega_ot+\frac{1}{2}\alpha t^2$

角加速度很容易用角速度和时间来计算:

$\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\frac{12\frac{rad}{s}-0\frac{rad}{s}}{3s}=4\frac{rad}{s^2}$

使用这个值，我们可以得到角位移:

$\Delta \theta =(0\frac{rad}{s})(3s)+\frac{1}{2}(4\frac{rad}{s^2})(3s)^2$

$\Delta \theta=18rad$

将角位移换算为转数 $2\pi$ ：

$\frac{18rad}{2\pi\frac{rad}{rev}}\approx2.9rev$

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问题51:力学考试

半径0.5m，质量3kg的圆盘受到垂直于边缘的25N的力，使其旋转。圆盘的角加速度是多少?

可能的答案:

$33.3\frac{rad}{s^2}$

$40\frac{rad}{s^2}$

$25\frac{rad}{s^2}$

$20\frac{rad}{s^2}$

正确答案:

$33.3\frac{rad}{s^2}$

解释：

我们可以用牛顿第二定律的旋转运动等价物来求角加速度。在旋转运动中，扭矩是转动惯量和角加速度的乘积:

$\tau = I\alpha$

圆盘的转动惯量为:

$I=\frac{1}{2}mr^2$

扭矩是力和距离的乘积(在这种情况下，半径):

$\tau=F\cdot r$

我们可以代入第一个方程

$(F)(r)=(\frac{1}{2}mr^2)(\alpha)$

简化并重新排列得到角加速度方程:

$\alpha=\frac{Fr}{\frac{1}{2}mr^2}=\frac{2F}{mr}$

用我们给出的值求解:

$\alpha=\frac{2(25N)}{(3kg)(0.5m)}=33.3\frac{rad}{s^2}$

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例子问题1:利用扭矩方程

米尺的一端被钉在桌子上，可以在与桌子顶部平行的水平面上自由旋转。在米尺的不同位置施加四种大小相等的力。下图显示了从上面看米尺的视图。

你可以假设力 F_1 而且 F_2 都施加在米尺的中心，力呢 F_3 而且 F_4 涂在指甲对面的一端。

Ps1扭矩

四种不同的力对米尺的力矩大小有什么关系?

可能的答案:

$\tau _{1} < \tau _{2} = \tau _{3} < \tau _{4}$

$\tau _{1} = \tau _{2} < \tau _{3} = \tau _{4}$

$\tau _{1} = \tau _{2} = \tau _{3} = \tau _{4}$

正确答案:

$\tau _{1} < \tau _{2} = \tau _{3} < \tau _{4}$

解释：

力矩由，

$\tau =rFsin\theta$

由于所有的力的大小都相等，那么扭矩的大小就受半径的影响r半径和力之间的角度。

为 F_1 ，

$\tau_{1} =\left (\frac{1}{2}L \right )F\sin\, 45^{\circ}=0.354\cdot L\cdot F$

为 F_2 ，

$\tau_{2} =\left (\frac{1}{2}L \right )F\sin\, 90^{\circ}=0.5\cdot L \cdot F$

为 F_3 ，

$\tau_{3} =LF\sin\, 30^{\circ}=0.5 \cdot L \cdot F$

为 F_4 ，

$\tau_{4} =LF\sin\, 90^{\circ}=L\cdot F$

将这些信息结合起来就得到了这种关系，

$\tau _{1} < \tau _{2} = \tau _{3} < \tau _{4}$

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例子问题1:利用扭矩方程

一个人坐在一根长而均匀的金属梁的末端 $3.05\: m$ ．这个人有一大块 $85\: kg$ 光束的质量是 $40\: kg$ ．

关于梁的固定端，木板上的净扭矩的大小是多少?使用重力 $g = 9.8\: m/s^2$ ．

可能的答案:

$1,940\: N\cdot m$

$3,740\: N\cdot m$

$3,140\: N\cdot m$

$1,350\: N\cdot m$

正确答案:

$3,140\: N\cdot m$

解释：

梁上的净扭矩是由人的重量和梁本身的重量所产生的扭矩相加，每个扭矩都在离梁端各自的距离上:

$\tau _{net}=\tau _{man}+\tau _{beam}$

让我们按照人的和梁的重量的力矩的方向分配正力矩的方向，注意它们会相加，因为它们都指向同一个方向。

$\tau _{net}=L\cdot W_{man}\cdot\sin 90^{\circ}+\left ( \frac{1}{2} L\right )\cdot W_{beam}\cdot\sin\, 90^{\circ}$

$\tau _{net}=L\cdot m_{man}\cdot g+\left ( \frac{1}{2} L\right )\cdot m_{beam}\cdot g$

我们可以通过组合类似的项来进一步简化:

$\tau _{net}=L\cdot g \cdot (m_{man}+\frac{1}{2} m_{beam})$

使用给定的数值，

$\tau _{net}=(3.05\: m)\cdot(9.8\: m/s^{2})\cdot(85\: kg+\frac{1}{2} 40\: kg)=3140\: N\cdot m$

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问题51:力学考试

两个孩子坐在游乐场的跷跷板两侧，这样做的方式使跷跷板完美地保持水平平衡。的 $36\:kg$ 左边的孩子是 1.8 m 从枢轴开始。

如果第二个孩子坐着，她的质量是多少 $2.4\: m$ 从枢轴?

可能的答案:

$36\: kg$

$48\: kg$

$27\: kg$

$12\: kg$

正确答案:

$27\: kg$

解释：

由于包含到给定枢轴点的距离，扭矩分析在这种情况下是合适的。一般来说,

$\tau_{net}=I\alpha$

这是一个静态的情况。围绕枢轴有两个力矩由两个子物体的重量引起。我们会注意到，这些权重会导致围绕枢轴方向相反的力矩，这样

$\tau _{net}=0=\tau _{1}-\tau _{2}$

因此,

$\tau _{1}=\tau _{2}$

$r_{1}\cdot m_{1} \cdot g \cdot \sin\: 90^{\circ}=r_{2}\cdot m_{2}\cdot g \cdot \sin\: 90^{\circ}$

或者更简单地说，

$r_{1}\cdot m_{1}=r_{2} \cdot m_{2}$

解 m_2 ，

$m_{2}=\frac{m_{1}r_{1}}{r_{2}}=\frac{36\: kg\cdot1.8\: m}{2.4\: m}}=27\: kg$

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例子问题1:利用扭矩方程

一位体操运动员正在一端支撑着的狭长木板上练习平衡。她的质量是 $55\: kg$ ．的 $6\:m$ 长木板有质量 $23\: kg$ ．

Ps1体操运动员

计算如果她站着，右边的支撑物向上提供的力量 $4\: m$ 从右边开始。使用重力 $g = 9.8\: m/s^2$ ．

可能的答案:

$760\: N$

$180\: N$

$880\: N$

$380\: N$

$290\: N$

正确答案:

$290\: N$

解释：

由于包含到给定枢轴点的距离，扭矩分析在这种情况下是合适的。一般来说,

$\tau_{net}=I\alpha$

这是一个静态的情况。因此，可以选择任何枢轴点来进行扭矩分析。问题中所要求的未知力的最快方法是对木板左端进行扭矩分析。围绕这个支点有三个力矩:两个是由运动员和跳板本身的重量引起的顺时针方向的力矩，一个是由右侧支架的力引起的逆时针方向的力矩。顺时针为正，

$\tau _{net}=0=\tau _{gymnast}+\tau _{plank}-\tau _{right}$

因此,

$\tau _{gymnast}+\tau _{plank}=\tau _{right}$

$r _{gymnast}\cdot W_{gymnast}\cdot\sin\: 90^{\circ}+r _{plank}\cdot W_{plank}\cdot \sin\: 90^{\circ}=r _{right}\cdot F_{right}\cdot \sin\: 90^{\circ}$

这可以简化为

$r _{gymnast}\cdot m_{gymnast}\cdot g+r _{plank}\cdot m_{plank}\cdot g=r _{right}\cdot F_{right}$

解 $F_{right}$ ，

$F_{right} = \frac{(r _{gymnast}\cdot m_{gymnast}+r _{plank}\cdot m_{plank})\cdot g}{r _{right}}$

用数值求解，

$F_{right} = \frac{(2\: m\cdot 55\: kg+3\: m\cdot 23\: kg)\cdot 9.8\: m/s^{2}}{6\: m}=290\: N$

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例子问题1:利用扭矩方程

边长的平方和质量显示为可能的旋转轴。

Ps1广场

转动惯量之间的关系，哪个说法是正确的?

可能的答案:

I_A = I_B < I_C

I_B < I_A < I_C

I_A < I_B < I_C

I_A = I_B = I_C

正确答案:

I_A = I_B < I_C

解释：

两个轴的转动惯量而且相等，因为这两个轴都相等地穿过质心。

由转动惯量的平行轴定理( $I = I_{cm}+ MD^2$ )，为轴的转动惯量大于或

因为它位于一段距离

$\frac{L}{2}$ 远离质心。

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问题61:运动

一个捕风器是由四个有质量的塑料碗连接而成 $0.6\: kg$ 每一根都连着四根轻巧的杆，然后固定在一个可以在风中自由旋转的中心杆上。这四根轻便的杆子长度相同 $0.8\: m$ ， $0.6\: m$ ， $0.4\: m$ , $0.2\: m$ ．

Ps1风

计算四个碗围绕中心杆的转动惯量。你可以假设碗是点质量。

可能的答案:

$0.36\: kg\: m^2$

$0.72\: kg\: m^2$

$0.24\: kg \:m^2$

$1.4\: kg\: m^2$

正确答案:

$0.72\: kg\: m^2$

解释：

质点的转动惯量是 I = mR^2 ．

为了计算总的转动惯量，我们将物体各部分的转动惯量相加，使

$I_{total}=I_{1}+I_{2}+I_{3}+I_{4}$

$I_{total}=m_{1}R_{1}^{2}+m_{2}R_{2}^{2}+m_{3}R_{3}^{2}+m_{4}R_{4}^{2}$

在这个问题中碗的质量都是相等的，所以这个化简为

$I_{total}=m (R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}+R_{4}^{2})$

代入并用数值求解，

$I_{total}=(0.6\: kg) [(0.8\: m)^{2}+(0.6\: m)^{2}+(0.4\: m)^{2}+(0.2\: m)^{2}]=0.72\: kg\cdot m^{2}}$

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例子问题1:利用扭矩方程

一根长而均匀的细棒 $1.82\: m$ 有大量的 $12\: kg$ ．

计算垂直于其长度的轴通过一点的转动惯量 $0.36\: m$ 从它的一端开始。

可能的答案:

$1.6\: kg\cdot m^{2}$

$40\: kg\cdot m^{2}$

$3.3\: kg\cdot m^{2}$

$6.9\: kg\cdot m^{2}$

$4.9\: kg\cdot m^{2}$

正确答案:

$6.9\: kg\cdot m^{2}$

解释：

对于一根围绕质心的细长杆，

$I_{cm}=\frac{1}{12}mL^{2}$

根据平行轴定理，

$I_{//}=I_{cm}+md^{2}$

在哪里定义为物体的质心与平行于1穿过质心的轴的位置之间的距离。对于这个问题，是给定距离与杆子长度一半之间的差值。

综合以上，

$I=\frac{1}{12}mL^{2}+m(\frac{1}{2}L-l)^{2}$

插入数值，

$I=\frac{1}{12}(12)(1.82)^{2}+(12)(\frac{1.82}{2}-.036)^{2}=6.9\: kg\cdot m^{2}$

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例子问题1:利用扭矩方程

确定了一根细长杆绕其末端的转动惯量为 $I_0\: kg\: m^2$ ．

如果杆子的质量和长度都减少1 / 2，新的值是多少?

可能的答案:

$I_{new}=\frac{1}{16}I_{0}$

$I_{new}=\frac{1}{64}I_{0}$

$I_{new}=\frac{1}{4}I_{0}$

$I_{new}=\frac{1}{192}I_{0}$

$I_{new}=\frac{1}{12}I_{0}$

正确答案:

$I_{new}=\frac{1}{64}I_{0}$

解释：

一根长而均匀的细杆绕其末端的转动惯量为

$I_{rod,end}=\frac{1}{3}mL^{2}$

将质量和长度减少到原来的1 / 4后，方程中引入了以下因素:

$I_{new}=\frac{1}{3}(\frac{1}{4}m)(\frac{1}{4}L)^{2}=\frac{1}{3}(\frac{1}{4})m(\frac{1}{64})L^{2}$

简化,

$I_{new}=(\frac{1}{64})\frac{1}{3}mL^{2}=\frac{1}{64}I_{0}$

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