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AP物理C:力学:重力

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例子问题

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问题1:理解重力

质量为的块 10kg 旅行的速度是 $50\frac{m}{s}$ 当它撞击地面时。石块是从离地面多少米的地方掉下来的?

四舍五入到最近的整数。

可能的答案:

130m

132m

126m

124m

128m

正确答案:

128m

解释：

设重力势能和动能相等，求出高度。

$mgh = \frac{1}{2}mv^2$

大规模取消。

$gh = \frac{1}{2}v^2$

把高度分离出来，代入我们的值。

$h = \frac{v^2}{2g} = \frac{(50\frac{m}{s})^2}{2*9.8\frac{m}{s^2}} = \frac{2500}{19.6} = 127.551m$

四舍五入得到 h = 128m 。

问题1:重力

有质量的物体 $\small m$ 是从塔上掉下来的。物体的阻力由 $\small F_{d}=-bv^{2}$ 在哪里 $\small b$ 是一个正常数。物体的终端速度是多少?

可能的答案:

$\small \small v_{term}=\sqrt{\frac{b}{mg}}$

$\small \small v_{term}=\frac{mg}{b}$

$\small \small v_{term}=\frac{g}{b}$

$\small v_{term}=\sqrt{\frac{g}{b}}$

$v_{term}=\sqrt{\frac{mg}{b}}$

正确答案:

$v_{term}=\sqrt{\frac{mg}{b}}$

解释：

为了求出终端速度，设阻力的大小等于重力的大小，因为当这两个力相等且相反时，物体将停止加速:

$\small F_{d}=mg$

$\small bv^{2}=mg$

解出

$v=\sqrt{\frac{mg}{b}}$

问题1:理解重力

大质量的船 $\small m$ 初始速度是 $\small v_0$ 滑向一个停止。水对船有拖曳力。阻力与速度成正比:

F_D =-kv 负号表示阻力作用的方向与运动方向相反。当船沿海岸滑行一段时间等于 $\frac{2}{k}$ (就…而言)有多快 $\small v_0$ 船会移动吗?

可能的答案:

$\small 0.63v_0$

$\small 0.37v_0$

$\small \frac{v_0}{4}$

$\small 0.135 v_0$

$\small \frac{v_{0}}2{}$

正确答案:

$\small 0.135 v_0$

解释：

船的速度方程(通过求解一阶微分方程得到)为 $\small v=v_0e^{-kt}$

替代 $t=\frac{2}{k}$ 和解决。

问题2:理解重力

球形小行星的中心有一个洞，如下图所示:

穿过行星的洞

参考上面的图表。一个比小行星小得多的物体在小行星表面的a点被释放出来。物体在表面的b点和位于小行星中心的a点的速度和加速度如何比较?

可能的答案:

$v_{a}< v_{b}$ 和 $a_{a}< a_{b}$

$v_{a}<v_{b}$ 和 $a_{a}>_{b}$

$v_{a}=v_{b}$ 和 $a_{a}=a_{b}$

$v_{a}=v_{b}$ 和 $a_{a}< a_{b}$

$v_{a}<v_{b}$ 和 $a_{a}=a_{b}$

正确答案:

$v_{a}<v_{b}$ 和 $a_{a}>_{b}$

解释：

因为重力只取决于物体下面的质量(这是高斯电荷定律的引力版本)，所以随着物体下落，加速度稳步下降，并在中心下降到零。然而，随着物体下落，速度不断增加，只是速度变慢了。

问题91:Ap物理C

从月球表面发射火箭的最小速度是多少，才不会因为月球的引力而掉下来?

月球的质量是 $7.2*10^{22}kg$ 它的半径是 1.8*10^6m 。

$\small G=6.67*10^{-11}\frac{m^2N}{kg^2}$

可能的答案:

$2.3\frac{km}{s}$

$1.6\frac{km}{s}$

$470\frac{m}{s}$

$730\frac{m}{s}$

$520\frac{m}{s}$

正确答案:

$2.3\frac{km}{s}$

解释：

相关方程:

$E_{total}=K+U_g$

$K = \frac{1}{2}mv^2$

$U_g=\frac{-GMm}{r}$

为了使火箭摆脱月球的引力，它的最小总能量为零。如果总能量为零，那么当火箭离月球无限远时，它的最终速度将为零。如果总能量小于零，火箭将落回月球表面。如果总能量大于零，火箭在无限远的地方会有一个最终速度。

对于火箭离开地面时能量最小的情况:

$0 = K + U_g = \frac{1}{2}mv_{esc}^2 - \frac{GMm}{r}$

重新排列能量方程以分离速度项。

$v_{esc}^2 = \frac{GMm}{\frac{1}{2}mr}$

$v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$

代入给定的值来解速度。

$v_{esc}=\sqrt{\frac{2(6.67*10^{-11}\frac{m^2N}{kg^2})(7.2*10^{22}kg)}{(1.8*10^6m)}}=2310\frac{m}{s}\approx 2.3\frac{km}{s}$

问题21:部队

太阳对a的引力是多少 $\small 5.0kg$ 如果太阳的质量是地球表面上的书 $2.0*10^{30}kg$ 地球到太阳的距离是 $1.5*10^{11}m$ ？

$\small G=6.67*10^{-11}\frac{m^2N}{kg^2}$

可能的答案:

$5.9*10^{3}N$

3.0*10^4 N

$3.0*10^{-2}N$

4.4*10^9 N

$1.5*10^{-2}N$

正确答案:

$3.0*10^{-2}N$

解释：

相关方程:

$|F_g| = \frac{GMm}{r^2}$

用给定的值来解这个力。

$|F_g| = \frac{(6.67*10^{-11}\frac{m^2N}{kg^2})(2.0*10^{30}kg)(5kg)}{(1.5*10^{11}m)^2}=0.0296N\approx 3.0*10^{-2}N$

问题21:部队

两个质量相等的球体在空间中是孤立的，它们之间有一段距离。如果这个距离是原来的两倍，两个球体之间的引力变化的因子是多少?

可能的答案:

没有变化

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

$\frac{1}{4}$

解释：

牛顿的万有引力定律指出:

$F_g=\frac{Gm_1 m_2}{r^2}$

我们可以写出两个方程来表示加倍之前和之后的重力:

$F_{g,1} =\frac{Gm_1 m_2}{d^2}$

$F_{g,2}=\frac{Gm_1 m_2}{(2d)^2}$

加倍后的重力方程可以简化为:

$F_{g,2}=\frac{Gm_1 m_2}{4d^2}$

$F_{g,2}=\frac{1}{4}\frac{Gm_1 m_2}{d^2}$

因为球体的质量和万有引力常数保持不变，我们可以把Fg1的定义代入这个方程:

$F_{g,2} = \frac{1}{4}F_{g,1}$

当两个球体之间的距离增加一倍时，引力就减小了四分之一。

问题1:重力

两个质量相等的球体在太空中是孤立的。如果一个球体的质量加倍，两个球体所受的引力变化了多少?

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{4}$

正确答案:

解释：

牛顿的万有引力定律指出:

$F_g=\frac{Gm_1m_2}{r^2}$

我们可以写出两个方程来表示质量加倍之前和之后的重力:

$F_{g,1}=\frac{Gm_{a,1}m_{b,1}}{r^2}$

$F_{g,2}=\frac{Gm_{a,2}m_{b,2}}{r^2}$

题目告诉我们 $m_{a,2}=2m_{a,1}$ 我们可以假设所有其他变量保持不变。

将这些定义代入第二个方程:

$F_{g,2}=\frac{G(2m_{a,1})m_{b,1}}{r^2}$

这个方程化简为:

$F_{g,2}=2 \frac{Gm_{a,1}m_{b,1}}{r^2}$

代入Fg1的定义，得到:

$F_{g,2}=2F_{g,1}$

因此，当一个物体的质量加倍时，引力就加倍。

问题21:部队

你乘坐的电梯向上加速的速度是 $1.5\: m/s^2$ ，当你注意到一个垂直悬挂在弹簧秤上的块的读数为 $35\: N$ 。

当电梯以恒定速度下降时，弹簧刻度的读数是多少?

可能的答案:

$27.9\:N$

$35\:N$

$26.2\:N$

$30.35\:N$

$29.1\:N$

正确答案:

$30.35\:N$

解释：

当电梯向上加速时，我们知道物体会显得更重。法向力是所有力加起来的总和，在这种情况下是这样 $35\:N$ 。我们知道法向力有两个分量，一个来自重力，一个来自电梯加速度。利用这个方程，我们可以确定物体的质量，它不变:

F_n = ma + mg = m(g+a)

加速度是由重力引起的吗是电梯的加速度。

代入值，得到 35 = m(9.8+1.5)

解，我们得到 $m = 3.097\:kg$

由于电梯以等速下降，没有施加额外的力，因此弹簧刻度读取的力只来自重力，其计算公式为:

f=mg

$3.097 \cdot 9.8 = 30.35\:N$

问题101:Ap物理C

行星卫星的质量和半径是 $5.35\times10^{22} \:kg$ 和 $1740\: km$ 分别。

子弹在月球表面附近水平发射的最低速度是多少才能使它永远不会击中地面?

(注意:你可以把月球当成一个光滑的球体，假设月球上没有大气层。)

可能的答案:

$1.43\:km/s$

$1.52\:km/s$

$1.63\:km/s$

$1.77\:km/s$

$1.89\:km/s$

正确答案:

$1.43\:km/s$

解释：

为了解决这个问题，我们必须认识到作用在子弹上的重力等于向心力。重力和向心力的方程如下:

$F_g = \frac{GmM}{r^2}, F_c = \frac{mv^2}{r}$

如果我们令两个方程相等，小的(子弹的质量)就消掉了会从等式右边消失。

$\frac{GM}{r}= v^2 \rightarrow v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

万有引力是常数吗 $6.67384 \times10^{-11}\: m^3 kg^{-1} s^{-2}$

是给定的 $5.35\times10^{22} kg$ 和是 $1740\:km \rightarrow 1,740,000\:m$ 。

如果我们把所有的都插进去，就会得到

$1430\:m/s$ 或 $1.43\:km/s$

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