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AP物理B:理解伯努利方程

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例子问题

例子问题1:了解伯努利方程

不可压缩流体在无粘度时流动 $10 \frac{m}{s}$ 通过一个半径的管道 50 cm ．在不改变高度的情况下，它流入一个半径为 40 cm ．如果水压是 130 kPa 在 20 cm 管径，它的压力是多少 10 cm 直径管道?

流体的质量密度是 $1000 \frac{kg}{m^{3}}$ ．

可能的答案:

201.3 kPa

127.8 kPa

104 kPa

155.2 kPa

57.9 kPa

正确答案:

57.9 kPa

解释：

如果流体是不可压缩的，并且在密闭空间内流动时没有粘性，那么等量的流体必须在相同的时间间隔内通过该空间中的任何一点，即使该空间的几何形状发生了变化。相等的体积必须通过点而且同时在图中。

Pipe_jpeg

由于右边部分的直径较小，流体必须在该区域移动得更快，以相等的体积通过一个点和点在同一时间。

在这个问题中，管道中较大截面的流速为 $10 \frac{m}{s}$ ,所以 10 m 圆柱体的流体通过点在 1 s ．圆柱经过点的长度是多少就在那一瞬间?它的体积一定是相等的，所以我们可以用圆柱体的体积方程，其中高度等于管子的长度。

$\pi r_{1}^{2}h_{1}=\pi r_{2}^{2}h_{2}$

$h_{1} = 10 m$

$h_{2} = (\frac{r_{1}}{r_{2}})^{2}h_{1} = (\frac{0.5 m}{0.4 m})^{2}(10 m) = 15.625 m$

因此，在小段管道内的流速为 $15.625 \frac{m}{s}$ ，因为这是流体在管道中每秒必须移动的距离。

现在使用伯努利原理，它将流体流动中的能量守恒表示为:

压力+流动动能+流体势能=常数

流体势能取决于高度(就像重力势能一样)，所以从管道的一端到另一端不会发生变化。因此，在这种情况下，伯努利原理变成:

$p_{1} + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$

$p_{1}$ 是大管子里的压强， $\rho$ 流体的质量密度(对于不可压缩流体是恒定的)，和 $v_{1}$ 而且 $v_{2}$ 分别是管道的大段和小段的流速。代入已知值，求解 $p_{2}$ 收益率:

$p_{2} = 130,000 Pa + \frac{1}{2}(1000 \frac{kg}{m^{3}})(100 \frac{m^{2}}{s^{2}} - 244.14 \frac{m^{2}}{s^{2}})$

p_2= 130 kPa - 72.1 kPa

p_2= 57.9 kPa

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