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AP微积分BC:梯形和

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例子问题

问题1:梯形的金额

近似

$\int_{1}^{2} e ^{x^{2}} \mathrm{d}x$

用梯形法则 n=5 . 把你的答案四舍五入到小数点后三位。

可能的答案:

20.878

31.379

14.644

10.502

15.690

正确答案：

15.690

解释：

的时间间隔 $\left [ 1,2 \right ]$ 宽度为1单位;这个区间被均匀地分成五个子区间 $\Delta x = 1 \div 5 = 0.2$ 宽度单位。他们是

$\left [ 1,1.2 \right ], \left [ 1.2, 1.4 \right ], \left [ 1.4, 1.6 \right ], \left [ 1.6, 1.8 \right ], \left [ 1.8, 2 \right ]$ ．

梯形法则近似于给定积分的面积 $\int_{1}^{2} e ^{x^{2}} \mathrm{d}x$ 通过评估

$T = \frac{\Delta x}{2} \left [ f(x_{0}) + 2 f(x_{1}) + 2 f(x_{2}) + 2 f(x_{3}) + 2 f(x_{4}) + f(x_{5}) \right ]$ ，

在哪里

$\Delta x = 0.2$

$f (x) = e ^{x^{2}}$

和

$x_{0} = 1, x_{1} = 1.2,...x_{5} = 2$ ．

$T =\frac{0.2}{2} \left [ f(1) + 2 f(1.2}) + 2 f(1.4) + 2 f(1.6) + 2 f(1.8) + f(2) \right ]$

$f(1) = e ^{1^{2}} \approx 2.7183$

$f(1.2) = e ^{1.2^{2}} \approx 4.2207$

$f(1.4) = e ^{1.4^{2}} \approx 7.0993$

$f(1.6) = e ^{1.6^{2}} \approx 12.9358$

$f(1.8) = e ^{1.8^{2}} \approx 25.5337$

$f(2) = e ^{2^{2}} \approx 54.5982$

所以

$T \approx \frac{0.2}{2} \left [2.7183 + 2 \cdot 4.2207 + 2 \cdot 7.0993 + 2 \cdot 12.9358 + 2 \cdot 25.5337 + 54.5982 \right ]$

$\approx 0.1 \left (2.7183 + 8.4414 + 14.1986 + 25.8716 + 51.0674 + 54.5982 \right )$

$\approx 0.1 \cdot 156.8955 \approx 15.690$

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示例问题#2：梯形的金额

近似

$\int_{0}^{ \frac{\pi}{4}} \tan ^{2}x \; \mathrm{d}x$

用梯形法则 n = 4 . 把你的答案四舍五入到小数点后三位。

可能的答案:

0.129

0.258

0.454

0.227

0.325

正确答案：

0.227

解释：

的时间间隔 $\left [ 0, \frac{\pi }{4}\right ]$ 是 $\frac{\pi }{4}$ 宽度单位；该区间被平均划分为四个子区间 $\Delta x = \frac{\pi }{4} \div 4 = \frac{\pi }{16}$ 宽度单位。他们是

$\left [ 0, \frac{\pi }{16} \right ], \left [ \frac{\pi }{16}, \frac{\pi }{8} \right ], \left [ \frac{\pi }{8}, \frac{3 \pi }{16} \right ], \left [ \frac{3 \pi }{16}, \frac{\pi }{4}\right ]$ ．

梯形法则近似于给定积分的面积 $\int_{0}^{ \frac{\pi}{4}} \tan ^{2}x \; \mathrm{d}x$ 通过评估

$T = \frac{\Delta x}{2} \left [ f(x_{0}) + 2 f(x_{1}) + 2 f(x_{2}) + 2 f(x_{3}) + 2 f(x_{4}) + f(x_{5}) \right ]$ ，

在哪里

$\Delta x = \frac{\pi }{16}$ ，

$f (x) = \tan ^{2}x$ ，

和

$x_{0} = 0, x_{1} = \frac{\pi }{16},...x_{4} = \frac{\pi }{4}$ ．

$T =\frac{\frac{\pi }{16}}{2} \left [ f(0) + 2 f \left ( \frac{ \pi }{16}\right ) + 2 f \left ( \frac{ \pi }{8}\right ) + 2 f \left ( \frac{ 3 \pi }{16}\right ) + f \left ( \frac{ \pi }{4} \right ) \right ]$

$f(0) = \tan ^{2} 0 = 0$

$f\left ( \frac{ \pi }{16}\right ) = \tan ^{2} \frac{ \pi }{16} \approx 0.0396$

$f\left ( \frac{ \pi }{8}\right ) = \tan ^{2} \frac{ \pi }{8} \approx 0.1716$

$f\left ( \frac{ 3 \pi }{16}\right ) = \tan ^{2} \frac{ 3 \pi }{16} \approx 0.4465$

$f\left ( \frac{ \pi }{4}\right ) = \tan ^{2} \frac{ \pi }{4} = 1$

$\frac{\frac{\pi }{16}}{2} = \frac{\pi }{32} = 0.0982$

所以

$T \approx 0.0982 \left [0+ 2 \cdot 0.0396 + 2 \cdot 0.1716 + 2 \cdot 0.4465+ 1 \right ]$

$\approx 0.0982 \left [0+ 0.0792 + 0.3432 + 0.8930 + 1 \right ]$

$\approx 0.0982 \cdot 2.3154 \approx 0.227$

报告错误

问题3:梯形的金额

近似

$\int_{1}^{5} \frac{ \ln x \; \mathrm {d}x }{x^2}$

用梯形法则 n = 4 ．把你的估计四舍五入到小数点后三位。

可能的答案:

0.503

0.828

0.414

0.382

0.446

正确答案：

0.414

解释：

的时间间隔 $\left [ 1,5 \right ]$ 宽度为4个单位;这个音程被均匀地分成四个子音程 $\Delta x = 4\div 4 = 1$ 单位在宽度-他们是 [1,2], [2,3],[3,4], [4,5] ．

梯形法则近似于给定积分的面积 $\int_{1}^{5} \frac{ \ln x \; \mathrm {d}x }{x^2}$ 通过评估

$T = \frac{\Delta x}{2} \left [ f(x_{0}) + 2 f(x_{1}) + 2 f(x_{2}) + 2 f(x_{3}) + f(x_{4}) \right ]$ ，

在哪里 $\Delta x = 1$ ， $f(x) = \frac{ \ln x }{x^2}$ ,

$x_{0} = 1, x_{1} = 2, ... x_{4} = 5$ ．

$T =\frac{1}{2} \left [ f(1) + 2 f(2}) + 2 f(3) + 2 f(4) + f(5) \right ]$

$f(1) = \frac{ \ln 1 }{1^2} = 0$

$f(2) = \frac{ \ln 2 }{2^2} \approx \frac{0.6931 }{4} \approx 0.1733$

$f(3) = \frac{ \ln 3 }{3^2} \approx \frac{1.0986 }{9} \approx 0.1221$

$f(4) = \frac{ \ln 4 }{4^2} \approx \frac{1.3863 }{16} \approx 0.0866$

$f(5) = \frac{ \ln 5 }{5^2} \approx \frac{1.6094 }{25} \approx 0.0644$

$T \approx 0.5 \left [0+ 2 \cdot 0.1733 + 2 \cdot 0.1221 + 2 \cdot 0.0866 + 0.0644 \right ]$

$\approx 0.5 \left [ 0.3466 + 0.2442 + 0.1732 + 0.0644 \right ]$

$\approx 0.5 \cdot 0.8284 \approx 0.414$

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