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AP微积分BC:定积分的数值逼近

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例子问题

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问题1:黎曼和

求函数的左黎曼和

f(x)=x+7

在间隔上 [0,8] 分为四个子区间。

可能的答案:

100

正确答案:

解释：

的时间间隔 [0, 8] 将矩形划分为四个子区间，以顶点为底

x=0,2,4,6,8

对于左黎曼和，我们需要找到矩形高度，它的值来自于每个子区间的最左边的函数值，或者f(0)， f(2)， f(4)， f(6)。

f(0) = 0+7 = 7

f(2) = 2+7 = 9

f(4) = 4+7 = 11

f(6) = 6+7 = 13

因为每个子区间的宽度是2，所以左黎曼和是

A = bh = 2(7+9+11+13) = 80

报告错误

问题1:黎曼和:左求值

给定一个函数 $y=x^{2}$ ，求函数在区间上的左黎曼和 [0,6] 分为三个子区间。

可能的答案:

正确答案:

解释：

为了求出给定函数的黎曼和，我们需要使用沿给定区间的相等子区间间隔的矩形来近似该函数产生的直线或曲线下的面积。因为我们有一个区间 [0,6] 分为子区间，我们将使用顶点为的矩形 x=0,2,4,6 ．

为了近似曲线下的面积，我们需要在子区间中找到每个矩形的面积。我们已经知道每个矩形的宽或底是多少 b=2 因为矩形是间隔的单位分开。因为我们要求的是左黎曼和，所以我们要求的是高度取每个子区间上最左边的函数值，得到每个矩形的值，如下所示:

$f(0)=(0)^{2}=0$

$f(2)=(2)^{2}=4$

$f(4)=(4)^{2}=16$

把它们放在一起，左黎曼和是

A=bh=2(0+4+16)=2(20)=40 ．

报告错误

问题3:定积分的数值逼近

给定一个函数 $y=\frac{1}{4}x+2$ ，求函数在区间上的左黎曼和 [0,4] 分为四个子区间。

可能的答案:

$\frac{17}{2}$

$\frac{21}{2}$

$\frac{25}{2}$

$\frac{23}{2}$

$\frac{19}{2}$

正确答案:

$\frac{19}{2}$

解释：

为了求出给定函数的黎曼和，我们需要使用沿给定区间的相等子区间间隔的矩形来近似该函数产生的直线或曲线下的面积。因为我们有一个区间 [0,4] 分为子区间，我们将使用顶点为的矩形 x=0,1,2,3,4 ．

为了近似曲线下的面积，我们需要在子区间中找到每个矩形的面积。我们已经知道每个矩形的宽或底是多少 b=1 因为矩形是间隔的单位分开。因为我们要求的是左黎曼和，所以我们要求的是高度取每个子区间上最左边的函数值，得到每个矩形的值，如下所示:

$f(0)=\frac{1}{4}(0)+2=0+2=2$

$f(1)=\frac{1}{4}(1)+2=\frac{1}{4}+\frac{8}{4}=\frac{9}{4}$

$f(2)=\frac{1}{4}(2)+2=\frac{1}{2}+\frac{4}{2}=\frac{5}{2}$

$f(3)=\frac{1}{4}(3)+2=\frac{3}{4}+\frac{8}{4}=\frac{11}{4}$

把它们放在一起，左黎曼和是

$A=bh=1(2+\frac{9}{4}+\frac{5}{2}+\frac{11}{4})=\frac{8}{4}+\frac{9}{4}+\frac{10}{4}+\frac{11}{4}=\frac{38}{4}=\frac{19}{2}$

报告错误

问题1:黎曼和:左求值

$\begin{align*}&\text{Using the method of left point Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{3}^{3.9}(-9tan(10sin(5x)))dx\\&\text{Using }3\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

3.81

59.47

9.91

94.16

正确答案:

9.91

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{3}^{3.9}(-9tan(10sin(5x)))dx\\&\text{So the interval is }[3,3.9]\text{ the subintervals have length }\frac{3.9-(3)}{3}=\frac{3}{10}\\&\text{and since we are using the *left*point of each interval, the x-values are:}\\&[3,\frac{33}{10},\frac{18}{5}]\\&\int_{3}^{3.9}(-9tan(10sin(5x)))dx=\frac{3}{10}[(-9tan(10sin(15)))+(-9tan(10sin(\frac{33}{2})))+(-9tan(10sin(18)))]\\&\int_{3}^{3.9}(-9tan(10sin(5x)))dx=9.91\end{align*}$

报告错误

问题1:黎曼和:左求值

$\begin{align*}&\text{Calculate the Riemann sums integral approximation of :}\\&\int_{-2}^{11.6}(\frac{18}{3^{(4tan(4x))}})dx\\&\text{Using left points over }4\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

815.11

2200.80

343.87

17826.44

正确答案:

2200.80

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{-2}^{11.6}(\frac{18}{3^{(4tan(4x))}})dx\\&\text{So the interval is }[-2,11.6]\text{ the subintervals have length }\frac{11.6-(-2)}{4}=\frac{17}{5}\\&\text{and since we are using the *left*point of each interval, the x-values are:}\\&[-2,\frac{7}{5},\frac{24}{5},\frac{41}{5}]\\&\int_{-2}^{11.6}(\frac{18}{3^{(4tan(4x))}})dx=\frac{17}{5}[(18\cdot 3^{(4tan(8))})+(\frac{18}{3^{(4tan(\frac{28}{5}))}})+(\frac{18}{3^{(4tan(\frac{96}{5}))}})+(\frac{18}{3^{(4tan(\frac{164}{5}))}})]\\&\int_{-2}^{11.6}(\frac{18}{3^{(4tan(4x))}})dx=2200.80\end{align*}$

报告错误

问题1:黎曼和:左求值

$\begin{align*}&\text{Using the method of left point Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{-4}^{4.4}(6cos(11e^{(2x)}))dx\\&\text{Using }3\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

6.25

14.43

41.86

4.19

正确答案:

41.86

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{-4}^{4.4}(6cos(11e^{(2x)}))dx\\&\text{So the interval is }[-4,4.4]\text{ the subintervals have length }\frac{4.4-(-4)}{3}=\frac{14}{5}\\&\text{and since we are using the *left*point of each interval, the x-values are:}\\&[-4,-\frac{6}{5},\frac{8}{5}]\\&\int_{-4}^{4.4}(6cos(11e^{(2x)}))dx=\frac{14}{5}[(6cos(11e^{(-8)}))+(6cos(11e^{(-\frac{12}{5})}))+(6cos(11e^{(\frac{16}{5})}))]\\&\int_{-4}^{4.4}(6cos(11e^{(2x)}))dx=41.86\end{align*}$

报告错误

问题1:黎曼和:左求值

$\begin{align*}&\text{Using the method of left point Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{0}^{12}(11sin(20sin(x)))dx\\&\text{Using }3\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

4.86

11.66

1.20

68.77

正确答案:

11.66

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{0}^{12}(11sin(20sin(x)))dx\\&\text{So the interval is }[0,12]\text{ the subintervals have length }\frac{12-(0)}{3}=4\\&\text{and since we are using the *left*point of each interval, the x-values are:}\\&[0,4,8]\\&\int_{0}^{12}(11sin(20sin(x)))dx=4[(0)+(11sin(20sin(4)))+(11sin(20sin(8)))]\\&\int_{0}^{12}(11sin(20sin(x)))dx=11.66\end{align*}$

报告错误

问题1:积分

$\begin{align*}&\text{Using the method of left point Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{0}^{3}(-16sin(2x^{2}))dx\\&\text{Using }3\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

-249.10

-151.89

-10.85

-30.38

正确答案:

-30.38

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{0}^{3}(-16sin(2x^{2}))dx\\&\text{So the interval is }[0,3]\text{ the subintervals have length }\frac{3-(0)}{3}=1\\&\text{and since we are using the *left*point of each interval, the x-values are:}\\&[0,1,2]\\&\int_{0}^{3}(-16sin(2x^{2}))dx=1[(0)+(-16sin(2))+(-16sin(8))]\\&\int_{0}^{3}(-16sin(2x^{2}))dx=-30.38\end{align*}$

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问题1:定积分的数值逼近

$\begin{align*}&\text{Using }3\text{ intervals, and the method of left point Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{4}^{12.7}(-17cos(20x^{2}))dx\end{align*}$

可能的答案:

4.20

91.80

1.91

16.39

正确答案:

16.39

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{4}^{12.7}(-17cos(20x^{2}))dx\\&\text{So the interval is }[4,12.7]\text{ the subintervals have length }\frac{12.7-(4)}{3}=\frac{29}{10}\\&\text{and since we are using the *left*point of each interval, the x-values are:}\\&[4,\frac{69}{10},\frac{49}{5}]\\&\int_{4}^{12.7}(-17cos(20x^{2}))dx=\frac{29}{10}[(-17cos(320))+(-17cos(\frac{4761}{5}))+(-17cos(\frac{9604}{5}))]\\&\int_{4}^{12.7}(-17cos(20x^{2}))dx=16.39\end{align*}$

报告错误

问题1:积分

$\begin{align*}&\text{Using }3\text{ intervals, and the method of left point Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{0}^{9}(-\frac{4}{4^e^{(6x)}})dx\end{align*}$

可能的答案:

-3.00

-0.44

-0.31

-10.80

正确答案:

-3.00

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{0}^{9}(-\frac{4}{4^e^{(6x)}})dx\\&\text{So the interval is }[0,9]\text{ the subintervals have length }\frac{9-(0)}{3}=3\\&\text{and since we are using the *left*point of each interval, the x-values are:}\\&[0,3,6]\\&\int_{0}^{9}(-\frac{4}{4^e^{(6x)}})dx=3[(-1)+(-\frac{4}{4^e^{(18)}})+(-\frac{4}{4^e^{(36)}})]\\&\int_{0}^{9}(-\frac{4}{4^e^{(6x)}})dx=-3.00\end{align*}$

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