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AP微积分BC:黎曼和:右评价

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例子问题

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示例问题4:黎曼和

给定一个函数 $y=\frac{5}{x}$ ，求函数在区间上的右黎曼和 [0,4] 分为四个子音程。

可能的答案:

$\frac{125}{12}$

$\frac{123}{12}$

$\frac{126}{12}$

$\frac{124}{12}$

$\frac{122}{12}$

正确答案:

$\frac{125}{12}$

解释：

为了求出一个给定函数的黎曼和，我们需要用在给定区间的等子区间上间隔的矩形来近似计算由函数产生的直线或曲线下的面积。因为我们有一个区间 [0,4] 分为子区间，我们将使用顶点为的矩形 x=0,1,2,3,4 ．

为了近似曲线下的面积，我们需要求出子区间内每个矩形的面积。我们已经知道每个矩形的宽度或底是 b=1 因为矩形是间隔的单位分开。因为我们在寻找右黎曼和 $y=\frac{5}{x}$ 我们要求出高度通过取每个子区间上最右边的函数值，得到:

$f(4)=\frac{5}{4}$

$f(3)=\frac{5}{3}$

$f(2)=\frac{5}{2}$

$f(1)=\frac{5}{1}=5$

把它们放在一起，右黎曼和就是

$A=bh=1(\frac{5}{4}+\frac{5}{3}+\frac{5}{2}+5)=\frac{15}{12}+\frac{20}{12}+\frac{30}{12}+\frac{60}{12}=\frac{125}{12}$ ．

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例子问题1:黎曼和:权利评价

$\begin{align*}&\text{Using the method of right Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{1}^{15.8}(-15sin(14e^{(4x)}))dx\\&\text{Using }4\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

5.20

191.30

20.79

3.35

正确答案:

20.79

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{1}^{15.8}(-15sin(14e^{(4x)}))dx\\&\text{So the interval is }[1,15.8]\text{ the subintervals have length }\frac{15.8-(1)}{4}=\frac{37}{10}\\&\text{and since we are using the *right*point of each interval, the x-values are:}\\&[\frac{47}{10},\frac{42}{5},\frac{121}{10},\frac{79}{5}]\\&\int_{1}^{15.8}(-15sin(14e^{(4x)}))dx=\frac{37}{10}[(-15sin(14e^{(4(\frac{47}{10}))}))+(-15sin(14e^{(4(\frac{42}{5}))}))+(-15sin(14e^{(4(\frac{121}{10}))}))+(-15sin(14e^{(4(\frac{79}{5}))}))]\\&\int_{1}^{15.8}(-15sin(14e^{(4x)}))dx=20.79\end{align*}$

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例子问题1:黎曼和:权利评价

$\begin{align*}&\text{Using the method of right Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{4}^{14}(-8sin(12e^{(x)}))dx\\&\text{Using }4\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

-143.01

-89.59

-51.69

-17.23

正确答案:

-17.23

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{4}^{14}(-8sin(12e^{(x)}))dx\\&\text{So the interval is }[4,14]\text{ the subintervals have length }\frac{14-(4)}{4}=\frac{5}{2}\\&\text{and since we are using the *right*point of each interval, the x-values are:}\\&[\frac{13}{2},9,\frac{23}{2},14]\\&\int_{4}^{14}(-8sin(12e^{(x)}))dx=\frac{5}{2}[(-8sin(12e^{((\frac{13}{2}))}))+(-8sin(12e^{((9))}))+(-8sin(12e^{((\frac{23}{2}))}))+(-8sin(12e^{((14))}))]\\&\int_{4}^{14}(-8sin(12e^{(x)}))dx=-17.23\end{align*}$

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例子问题1:黎曼和:权利评价

$\begin{align*}&\text{Using the method of right Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{0}^{6}(5x - 1000sin(3x)^{2})dx\\&\text{Using }4\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

-1412.79

-403.65

-3390.69

-21361.33

正确答案:

-3390.69

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{0}^{6}(5x - 1000sin(3x)^{2})dx\\&\text{So the interval is }[0,6]\text{ the subintervals have length }\frac{6-(0)}{4}=\frac{3}{2}\\&\text{and since we are using the *right*point of each interval, the x-values are:}\\&[\frac{3}{2},3,\frac{9}{2},6]\\&\int_{0}^{6}(5x - 1000sin(3x)^{2})dx=\frac{3}{2}[(5(\frac{3}{2}) - 1000sin(3(\frac{3}{2}))^{2})+(5(3) - 1000sin(3(3))^{2})+(5(\frac{9}{2}) - 1000sin(3(\frac{9}{2}))^{2})+(5(6) - 1000sin(3(6))^{2})]\\&\int_{0}^{6}(5x - 1000sin(3x)^{2})dx=-3390.69\end{align*}$

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例子问题1:黎曼和:权利评价

$\begin{align*}&\text{Using the method of right Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{-4}^{-1.6}(15cos(12sin(6x)) + 5x^{3})dx\\&\text{Using }3\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

-31.63

-208.73

-1732.45

-52.18

正确答案:

-208.73

解释：

$\begin{align*}\\&\text{and since we are using the *right*point of each interval, the x-values are:}\\&[-\frac{16}{5},-\frac{12}{5},-\frac{8}{5}]\\&\int_{-4}^{-1.6}(15cos(12sin(6x)) + 5x^{3})dx\approx\frac{4}{5}[(15cos(12sin(6(-\frac{16}{5}))) + 5(-\frac{16}{5})^{3})+(15cos(12sin(6(-\frac{12}{5}))) + 5(-\frac{12}{5})^{3})+(15cos(12sin(6(-\frac{8}{5}))) + 5(-\frac{8}{5})^{3})]\\&\int_{-4}^{-1.6}(15cos(12sin(6x)) + 5x^{3})dx\approx-208.73\end{align*}$

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例子问题1:黎曼和:权利评价

$\begin{align*}&\text{Using the method of right Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{0}^{13.6}(2x + 4sin(3tan(5x)))dx\\&\text{Using }4\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

1092.76

214.27

1735.56

89.28

正确答案:

214.27

解释：

$\begin{align*}\\&\text{and since we are using the *right*point of each interval, the x-values are:}\\&[\frac{17}{5},\frac{34}{5},\frac{51}{5},\frac{68}{5}]\\&\int_{0}^{13.6}(2x + 4sin(3tan(5x)))dx\approx\frac{17}{5}[(2(\frac{17}{5}) + 4sin(3tan(5(\frac{17}{5}))))+(2(\frac{34}{5}) + 4sin(3tan(5(\frac{34}{5}))))+(2(\frac{51}{5}) + 4sin(3tan(5(\frac{51}{5}))))+(2(\frac{68}{5}) + 4sin(3tan(5(\frac{68}{5}))))]\\&\int_{0}^{13.6}(2x + 4sin(3tan(5x)))dx\approx214.27\end{align*}$

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例子问题1:黎曼和:权利评价

$\begin{align*}&\text{Using }3\text{ intervals, and the method of right point Riemann sums approximate the integral:}\\&\int_{-4}^{7.1}(4x - 15sin(13x^{2}))dx\end{align*}$

可能的答案:

21.25

74.37

505.75

647.06

正确答案:

74.37

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{-4}^{7.1}(4x - 15sin(13x^{2}))dx\\&\text{So the interval is }[-4,7.1]\text{ the subintervals have length }\frac{7.1-(-4)}{3}=\frac{37}{10}\\&\text{and since we are using the *right*point of each interval, the x-values are:}\\&[-\frac{3}{10},\frac{17}{5},\frac{71}{10}]\\&\int_{-4}^{7.1}(4x - 15sin(13x^{2}))dx\approx\frac{37}{10}[(4(-\frac{3}{10}) - 15sin(13(-\frac{3}{10})^{2}))+(4(\frac{17}{5}) - 15sin(13(\frac{17}{5})^{2}))+(4(\frac{71}{10}) - 15sin(13(\frac{71}{10})^{2}))]\\&\int_{-4}^{7.1}(4x - 15sin(13x^{2}))dx\approx74.37\end{align*}$

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问题21:积分

$\begin{align*}&\text{Calculate the right-side Riemann sums integral approximation of :}\\&\int_{-1}^{15}(3x + 5sin(2e^{(2x)}))dx\\&\text{Using points over }4\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

3927.89

2417.16

431.64

1553.89

正确答案:

431.64

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{-1}^{15}(3x + 5sin(2e^{(2x)}))dx\\&\text{So the interval is }[-1,15]\text{ the subintervals have length }\frac{15-(-1)}{4}=4\\&\text{and since we are using the *right*point of each interval, the x-values are:}\\&[3,7,11,15]\\&\int_{-1}^{15}(3x + 5sin(2e^{(2x)}))dx\approx4[(3(3) + 5sin(2e^{(2(3))}))+(3(7) + 5sin(2e^{(2(7))}))+(3(11) + 5sin(2e^{(2(11))}))+(3(15) + 5sin(2e^{(2(15))}))]\\&\int_{-1}^{15}(3x + 5sin(2e^{(2x)}))dx\approx431.64\end{align*}$

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例子问题1:黎曼和:权利评价

$\begin{align*}&\text{Calculate the right-side Riemann sums integral approximation of :}\\&\int_{3}^{4.8}(4x + 16cos(13e^{(3x)}))dx\\&\text{Using points over }3\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

34.93

3.88

6.35

136.22

正确答案:

34.93

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{3}^{4.8}(4x + 16cos(13e^{(3x)}))dx\\&\text{So the interval is }[3,4.8]\text{ the subintervals have length }\frac{4.8-(3)}{3}=\frac{3}{5}\\&\text{and since we are using the *right*point of each interval, the x-values are:}\\&[\frac{18}{5},\frac{21}{5},\frac{24}{5}]\\&\int_{3}^{4.8}(4x + 16cos(13e^{(3x)}))dx\approx\frac{3}{5}[(4(\frac{18}{5}) + 16cos(13e^{(3(\frac{18}{5}))}))+(4(\frac{21}{5}) + 16cos(13e^{(3(\frac{21}{5}))}))+(4(\frac{24}{5}) + 16cos(13e^{(3(\frac{24}{5}))}))]\\&\int_{3}^{4.8}(4x + 16cos(13e^{(3x)}))dx\approx34.93\end{align*}$

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问题21:定积分的数值逼近

$\begin{align*}&\text{Calculate the right-side Riemann sums integral approximation of :}\\&\int_{-5}^{15}(4x + 18sin(tan(5x)))dx\\&\text{Using points over }4\text{ intervals.}\end{align*}$

可能的答案:

57.29

1265.02

2635.46

527.09

正确答案:

527.09

解释：

$\begin{align*}&\text{A Riemann sum integral approximation over an interval [a, b]}\\&\text{with n subintervals follows the form:}\\&\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{n}(f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n))\\&\text{It is essentially a sum of n rectangles, each with a base of}\\&\text{length :}\frac{b-a}{n}\text{ and variable heights :}f(x_i)\text{, which depend on the function value at }x_i\\&\text{We're asked to approximate}\int_{-5}^{15}(4x + 18sin(tan(5x)))dx\\&\text{So the interval is }[-5,15]\text{ the subintervals have length }\frac{15-(-5)}{4}=5\\&\text{and since we are using the *right*point of each interval, the x-values are:}\\&[0,5,10,15]\\&\int_{-5}^{15}(4x + 18sin(tan(5x)))dx\approx5[(4(0) + 18sin(tan(5(0))))+(4(5) + 18sin(tan(5(5))))+(4(10) + 18sin(tan(5(10))))+(4(15) + 18sin(tan(5(15))))]\\&\int_{-5}^{15}(4x + 18sin(tan(5x)))dx\approx527.09\end{align*}$

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