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AP微积分BC:参数函数，极坐标函数和向量函数

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例子问题

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例子问题1:参数形式

重写为笛卡尔方程:

$x = t^{2} + 2t + 1, y = t^{2} - 2t + 1, t \in [-1, 1]$

可能的答案:

$y = x + 4 + 4\sqrt{x}$

y = x+2

$y = x - 4 - 4\sqrt{x}$

$y = x + 4 - 4\sqrt{x}$

y = x - 2

正确答案:

$y = x + 4 - 4\sqrt{x}$

解释：

$x = t^{2} + 2t + 1$

$x = \left ( t + 1\right )^{2}$

$\pm \sqrt{x} = t + 1$

所以

$\sqrt{x} = t + 1$ 或 $-\sqrt{x} = t + 1$

我们在限制到价值 $\left [ -1, 1\right ]$ ,所以 t + 1 是负的;我们选择

$\sqrt{x} = t + 1$ ．

同时,

$y = t^{2} - 2t + 1$

$y= \left ( t - 1\right )^{2}$

$\sqrt{y} = \pm \left ( t - 1\right )$

所以

$\sqrt{y} = t- 1$ 或 $-\sqrt{y} = t- 1$

我们在限制到价值 $\left [ -1, 1\right ]$ ,所以 t - 1 是负的;我们选择

$-\sqrt{y} = t- 1$

或者说,

$\sqrt{y} = -t+ 1$

为了使 t - 1 负的。

然后,

$\sqrt{x}+ \sqrt{y} = (t + 1) + (-t + 1)$

而且

$\sqrt{x}+ \sqrt{y} = 2$

$\sqrt{y} = 2 - \sqrt{x}$

$y =\left ( 2 - \sqrt{x} \right )^2$

$y = 4 - 4\sqrt{x} + \left (\sqrt{x} \right )^{2}$

$y = x + 4 - 4\sqrt{x}$

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例子问题1:函数，图和极限

重写为笛卡尔方程:

$x =10^ {t}, y = \sinh t, t \in (0,\infty )$

可能的答案:

$y = \frac{ x ^{2 \log e} -1}{ x ^{2 \log e} + 1}$

$y = \frac{ x ^{2 \log e} }{2 x ^{\log e}}$

$y = \frac{ 2x ^{2 \log e} -1}{2 x ^{\log e}}$

$y = \frac{ x ^{2 \log e} -1}{2 x ^{\log e}}$

$y = \frac{ x ^{2 \log e} +1}{2 x ^{\log e}}$

正确答案:

$y = \frac{ x ^{2 \log e} -1}{2 x ^{\log e}}$

解释：

$y = \sinh t = \frac{e ^{2t} -1}{2e ^{t}} = \frac{\left (e ^{ t} \right) ^{2} -1}{2e ^{t}}$

$e^{t} = 10 ^{\log e \cdot t} =\left ( 10 ^{ t} \right )^{\log e} = x ^{\log e}$ ,所以

$y = \frac{\left ( x ^{\log e} \right) ^{2} -1}{2 x ^{\log e}}= \frac{ x ^{2 \log e} -1}{2 x ^{\log e}}$

这就得到了笛卡尔方程

$y = \frac{ x ^{2 \log e} -1}{2 x ^{\log e}}$ ．

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例子问题3:参数，极坐标和向量函数

如果 x=3+t 而且 y=4t+7 ，什么是在这方面(矩形形式)?

可能的答案:

y=4x-7

y=4x-3

y=4x-2

y=4x-12

y=4x-5

正确答案:

y=4x-5

解释：

鉴于 x=3+t 而且 y=4t+7 ，我们可以找到在这方面通过隔离在两个方程中:

$x=3+t\rightarrow t=x-3$

$y=4t+7\rightarrow t=\frac{y-7}{4}$

因为这两个变换相等，我们可以令它们相等:

$\frac{y-7}{4}=x-3$

y-7=4(x-3)

y-7=4x-12

y=4x-5

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问题4:参数，极坐标和向量函数

鉴于 x=t+10 而且 y=2t-9 ，之间的弧长是多少 $0\leqt\leq t\leq4$ ?

可能的答案:

$2\sqrt{5}$

$4\sqrt{5}$

$5\sqrt{5}$

$3\sqrt{5}$

$\sqrt{5}$

正确答案:

$4\sqrt{5}$

解释：

为了求出弧长，必须使用参数曲线的弧长公式:

$L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt$ ．

鉴于 x=t+10 而且 y=2t-9 ，我们可以使用幂法则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ ，来推导

$\frac{dx}{dt}=(1)t^{1-1}+(0)10=1$ 而且

$\frac{dy}{dt}=(1)2t^{1-1}-(0)9=2$ ．

代入这些值和边界值代入弧长方程，得到:

$L=\int_{0}^{4}\sqrt{(1)^{2}+(2)^{2}}dt$

$L=\int_{0}^{4}(\sqrt{1+4})dt$

$L=\int_{0}^{4}(\sqrt{5})dt$

现在，使用积分的幂次法则

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ 对所有 $n\neq0$ ，

我们可以确定:

$L=[t\sqrt{5}]_{0}^{4}\textrm{}dt$

$L=(4)\sqrt{5}-(0)\sqrt{5}$

$L=4\sqrt{5}$

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例5:参数，极坐标和向量函数

鉴于 x=4t-5 而且 y=6t+2 ，弧的长度是多少 $0\leq t\leq2$ ?

可能的答案:

$7\sqrt{13}$

$4\sqrt{13}$

$6\sqrt{13}$

$3\sqrt{13}$

$5\sqrt{13}$

正确答案:

$4\sqrt{13}$

解释：

为了求出弧长，必须使用参数曲线的弧长公式:

$L=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}dt$ ．

鉴于 x=4t-5 而且 y=6t+2 ，我们可以使用幂法则

$\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 对所有 $n\neq0$ ，来推导

$\frac{dx}{dt}=(1)4t^{1-1}-(0)5=4$ 而且

$\frac{dy}{dt}=(1)6t^{1-1}+(0)2=6$ ．

代入这些值和边界值代入弧长方程，得到:

$L=\int_{0}^{2}(\sqrt{(4)^{2}+(6)^{2}}dt$

$L=\int_{0}^{2}(\sqrt{16+36})dt$

$L=\int_{0}^{2}(\sqrt{52})dt$

$L=\int_{0}^{2}(\sqrt{4\times13})dt$

$L=\int_{0}^{2}(2\sqrt{13})dt$

现在，使用积分的幂次法则

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ 对所有 $n\neq0$ ，

我们可以确定:

$L=[2t\sqrt{13}]_{0}^{2}\textrm{}$

$L=2(2)\sqrt{13}-2(0)\sqrt{13}$

$L=4\sqrt{13}$

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例子问题6:参数，极坐标和向量函数

求下列参数曲线的长度

$x=e^{t}cos(t)$ ， $y=e^{t}sin(t)$ ， $0\leq t \leq 2 \pi$ ．

可能的答案:

$e^{t}cos(t)$

$\sqrt{2}\left ( e^{2 \pi}-1}\right )$

sin(t)+cos(t)

$e^{2 \pi}$

正确答案:

$\sqrt{2}\left ( e^{2 \pi}-1}\right )$

解释：

曲线的长度由方程求出 $L=\int_{\alpha }^{\beta }\sqrt{\left ( \frac{dx}{dt} \right )^{2}+\left ( \frac{dy}{dt} \right )^{2}}dt$

我们用乘法法则，

$\frac{d}{dt}(a*b)=a\frac{db}{dt}+b\frac{da}{dt}$ ,当而且的函数，

三角法则，

$\frac{d}{dt}[cos(t)]=-sin(t)$ 而且 $\frac{d}{dt}[sin(t)]=cos(t)$

指数法则，

$\frac{d}{dt}[e^{t}]=e^{t}$ 找到 $\frac{dx}{dt}$ 而且 $\frac{dy}{dt}$ ．

在这种情况下

$x=e^{t}cos(t)$ ， $y=e^{t}sin(t)$

$\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}e^{t}cos(t)=e^{t}\frac{d}{dt}cos(t)+cos(t)\frac{d}{dt}e^{t}$

$=e^{t}*(-sin(t))+cos(t)*e^{t}=e^{t}cos(t)-e^{t}sin(t)$

$\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}e^{t}sin(t)=e^{t}\frac{d}{dt}sin(t)+sin(t)\frac{d}{dt}e^{t}$

$=e^{t}cos(t)+sin(t)*e^{t}=e^{t}cos(t)+e^{t}sin(t)$

$\alpha=0, \beta=2\pi$

这条曲线的长度是

$L=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{\left (e^{t}cos(t)-e^{t}sin(t)\right )^{2}+\left (e^{t}cos(t)+e^{t}sin(t)\right )^{2}}dt$

使用标识 $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}$

$L=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{\binom{\left (e^{2t}cos^{2}(t)-2e^{t}cos(t)e^{t}sin(t)+e^{2t}sin^{2}(t)\right )}{\left +(e^{2t}cos^{2}(t)+2e^{t}cos(t)e^{t}sin(t)+e^{2t}sin^{2}(t)\right)}dt}$

$=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{(2e^{2t}cos^{2}(t)+2e^{2t}sin^{2}(t))dt}$

$=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{2e^{2t}(cos^{2}(t)+sin^{2}(t))dt}$

使用标识 $\sqrt{a*b}=\sqrt{a}\sqrt{b}$

$L=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{2e^{2t}} \sqrt{cos^{2}(t)+sin^{2}(t)dt}$

用三角恒等式 $sin^{2}(at)+cos^{2}(at)=1$ 在哪里是常数，并且 $e^{2t}=(e^{t})^2$

$=\int_{0}^{2\pi }\sqrt{2}e^{t}dt}=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi }e^{t}dt}$

用指数法则， $\int e^{t}dt}=e^{t}$

$\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi }e^{t}dt}=\sqrt{2}e^{t}|_{0}^{2\pi}=\sqrt{2}\left ( e^{2 \pi}-e^{0}}\right )$

用指数法则， $e^{0}=1$ 给出了最终的解

$L=\sqrt{2}\left ( e^{2 \pi}-1}\right )$

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例子问题1:参数形式

找到dy / dx在不消除参数的情况下，与给定参数值对应的点:

$x=5\sec(t),y=3\tan(t), t=\frac{\pi}{6}$

可能的答案:

$\frac{6}{5}$

$\frac{5}{6}$

$\frac{3}{10}$

$10\sqrt3$

$\frac{10}{3}$

正确答案:

$\frac{6}{5}$

解释：

的公式dy / dx参数方程为:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$

从问题陈述中:

$\frac{dy}{dt}=3\sec^2(t),\frac{dx}{dt}=5\sec(t)\tan(t)$

如果我们把这些代入上面的方程，我们最终会得到:

$\frac{dy}{dx}=\frac{3\sec^2(t)}{5\sec(t)\tan(t)}=\frac{3\sec(t)}{5\tan(t)}=\frac{3\frac{1}{cos(t)}}{5\frac{sin(t)}{cos(t)}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{5}\frac{1}{\cos(t)}\frac{\cos(t)}{\sin(t)}=\frac{3}{5}\frac{1}{\sin(t)}$

如果我们代入给定的t值，我们得到:

$\frac{3}{5}\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{6})}=\frac{3}{5}\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{5}*2=\frac{6}{5}$

这是其中一个选项。

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例子问题1:绘制极坐标形式

画出 $r=sin\theta$ 从 $0\leq \theta \leq2\pi$ ．

可能的答案:

R_sinx_1

R_cosx

R_sin2x

R_sinx

Faker_cosx

正确答案:

R_sinx

解释：

之间的而且 $\frac{\pi }{2}$ 时，半径接近从．

从 $\frac{\pi }{2}$ 来 $\pi$ 半径是从来．

之间的 $\pi$ 而且 $\frac{3\pi }{2}$ ，当半径接近时，曲线在对象限，即第一象限重新绘制．

从 $\frac{3\pi }{2}$ 而且 $2\pi$ ，当半径接近时，曲线在第二象限重画从．

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例子问题1:函数，图和极限

画出 $r=sin(2\theta )$ 在哪里 $0\leq \theta \leq2\pi$ ．

可能的答案:

R_sinx_1

R_sin2x

R_sinx

R_cos2x

Faker_cosx

正确答案:

R_sin2x

解释：

因为这个函数的周期是 $\pi$ ，图的幅值 y=sin(2x) 的参考角度出现 $\frac{\pi }{4}$ (两轴夹角的中间角)。

之间的而且 $\frac{\pi }{4}$ 半径从0趋近于1。

之间的 $\frac{\pi }{4}$ 而且 $\frac{\pi }{2}$ 时，半径从1趋近于0。

从 $\frac{\pi }{2}$ 来 $\frac{3\pi }{4}$ 半径从0开始趋于-1，画在相反的象限，第四象限，因为它的半径是负的。

之间的 $\frac{3\pi }{4}$ 而且 $\pi$ ，半径从-1趋近于0，也画在第四象限。

从 $\pi$ 而且 $\frac{5\pi }{4}$ 时，半径从0趋近于1。之间的 $\frac{5\pi }{4}$ 而且 $\frac{3\pi }{2}$ 时，半径从1趋近于0。

然后之间 $\frac{3\pi }{2}$ 而且 $\frac{7\pi }{4}$ 半径从0开始趋于-1。因为半径是负的，所以画在对象限，第二象限。同样，当半径从-1趋近于0时。之间的 $\frac{7\pi }{4}$ 而且 $2\pi$ 时，曲线画在第二象限。

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问题9:参数，极坐标和向量函数

图 $r^2=cos(2\theta )$ 在哪里 $0\leq \theta \leq2\pi$ ．

可能的答案:

R2_cos2x

R_cos2x

R_sin2x

R2_sin2x

R_cosx

正确答案:

R2_cos2x

解释：

取图 y=cos(2x) 我们只要求正第一象限的面积，因为半径是平方，不可能是负的。

剩下的是来 $\frac{\pi }{4}$ ， $\frac{3\pi }{4}$ 来 $\frac{5\pi }{4}$ , $\frac{7\pi }{4}$ 来 $2\pi$ ．

然后，当我们取半径的平方根时，我们得到一个正的和负的答案半径的最大值和最小值都是 $\pm 1$ ．

要画出这个图形，半径为1并追踪到0 $\frac{\pi }{4}$ ．同样，半径的负部分从-1开始在另一个象限，第三象限，一直到零。

从 $\frac{3\pi }{4}$ 来 $\pi$ 时，曲线在第四象限从0到1，从0到-1。按照此模式，图形从包含的区域重新绘制 $\pi$ 来 $2\pi$ ．

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