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AP微积分BC:连续性

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例子问题

例子问题1:极限和连续性

Rational_graph

上图是该函数的草图．什么区间是连续的吗?

可能的答案:

$(-\infty, \infty)$

$(-2, 2) \cup \(2, \infty)$

$(-\infty, -2) \cup (-2, 2)$

$(-\infty, -2) \cup \(2, \infty)$

$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup \(2, \infty)$

正确答案:

$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup \(2, \infty)$

解释：

函数在一点上是连续的， f(a) 必须存在, $\lim_{x \rightarrow a}f(x)=f(a)$ ．

这对的所有值都成立除了 x=-2 而且 x=2 ．

因此，连续性区间为 $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup \(2, \infty)$ ．

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示例问题4:极限和连续性

考虑分段函数:

$y=\left\{\begin{matrix} 1;\: x<-5\\0;\:x>-5 \end{matrix}\right.$

是什么 $\lim_{x \to -5}$ ?

可能的答案:

极限是不存在的。

$\frac{1}{2}$

0<x<1

正确答案:

极限是不存在的。

解释：

分段函数

$\left\{\begin{matrix} 1;\: x<-5\\0;\:x>-5 \end{matrix}\right.$

表明是一个时小于5，如果变量大于5则为0。在 x=-5 在裂口的末端有一个洞。

极限并没有表明我们是想从左边还是右边求极限，这意味着需要从左边和右边检查极限。从左到右，极限趋近于1方法- 5。从右边看，极限趋近于0方法- 5。

既然极限不重合，极限就不存在 $\lim_{x \to -5}$ ．

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示例问题5:极限和连续性

考虑到功能 $f(x)=\frac{x^2-7x+12}{x-3}$ ．

关于这个函数，下列哪个表述是正确的?

我。 $f(x)\ is\ continuous\ at\ x = 3.$

2 $\lim_{x\to3}f(x)=-1$

3 $\lim_{x\to3}f(x)\ does\ not\ exist$

可能的答案:

二只

第三只

我和第三

我和二世

正确答案:

我和二世

解释：

对于在某一点连续的函数，该点处的极限必须等于该点处的函数值。

首先,请注意,

$f(3)=\frac{3^2-7(3)+12}{3-3}=\frac{(x-3)(x-4)}{(x-3)}=(x-4)=(3-4)=-1$ ．

这意味着函数在任何地方都是连续的。

接下来，我们必须计算极限。因式分解并简化f(x)以帮助计算极限。

$f(x)=\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\frac{(x-4)(x-3)}{(x-3)}=x-4$

$\lim_{x\to3}(x-4)=-1$

因此，当x趋于3时极限存在，它等于所以I和II是真命题。

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