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AP微积分BC:比较相对数量(指数增长，对数增长，多项式增长)

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例子问题

例子问题1:相对数量的比较(指数增长，对数增长，多项式增长)

圆柱高度 4in 和半径 1in 正在扩大。半径以。的速率增加 $0.1\frac{in}{s}$ 它的高度以 $0.2\frac{in}{s}$ ．它的表面积的增长率是多少?

可能的答案:

$2.8\pi\frac{in^2}{s}$

$0.2\pi\frac{in^2}{s}$

$0.4\pi\frac{in^2}{s}$

$1.6\pi\frac{in^2}{s}$

$1.4\pi\frac{in^2}{s}$

正确答案:

$1.6\pi\frac{in^2}{s}$

解释：

圆柱体的表面积由公式给出:

$A=2\pi r^2+2\pi rh$

为了求出随时间的增长率，取两边对时间的导数:

$\frac{dA}{dt}=4\pi r \frac{dr}{dt}+2\pi h \frac{dr}{dt} + 2\pi r \frac{dh}{dt}$

因此，表面积的增长率为:

$\frac{dA}{dt}=4\pi (1in)\left(0.1\frac{in}{s}\right)+2\pi(1in)(4in)\left(0.1\frac{in}{s}\right)+2\pi(1in)\left(0.2\frac{in}{s}\right)$

$\frac{dA}{dt}=(0.4\pi+0.8\pi+0.4\pi)\frac{in^2}{s}=1.6\pi\frac{in^2}{s}$

问题#1088:率

在挪威，驯鹿种群的增长率与种群数量成正比。2013年至2015年间，人口从9876人增加到10381人。预计2030年的人口是多少?

可能的答案:

38914

53880

15150

42581

49362

正确答案:

15150

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成比例，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰退。人口可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 是初始总体值，和是比例常数。

由于2013年至2015年间人口从9876人增加到10381人，我们可以求解这个比例常数:

$10381=9876e^{k(2015-2013)}$

$\frac{10381}{9876}=e^{2k}$

$2k=ln(\frac{10381}{9876})$

$k=\frac{ln(\frac{10381}{9876})}{2}=0.0252$

据此，我们可以计算出2015年至2030年的期望值:

$P=10381e^{(2030-2015)(0.0252)} \approx 15150$

例子问题1:相对数量的比较(指数增长，对数增长，多项式增长)

在不受保护的撒哈拉沙漠，由于偷猎大象，大象数量减少的速度与大象数量成正比。2010年至2015年间，一个地区的人口从1038人减少到817人。2017年预计人口是多少?

可能的答案:

493

779

619

527

742

正确答案:

742

解释：

我们被告知人口的增长率与人口本身成比例，这意味着这个问题处理的是指数增长/衰退。人口可以这样建模:

$p(t)=p_0e^{kt}$

在哪里 p_0 是初始总体值，和是比例常数。

由于2010年至2015年间人口从1038人减少到817人，我们可以求解这个比例常数:

$817=1038e^{k(2015-2010)}$

$\frac{817}{1038}=e^{5k}$

$5k=ln(\frac{817}{1038})$

$k=\frac{ln(\frac{817}{1038})}{5}=-0.048$

据此，我们可以计算出2015 - 2017年的期望值:

$P=817e^{(2017-2015)(-0.048)} \approx 742$

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