例子问题
问题1:作为函数的导数
枪以220英尺/秒的发射速度将子弹垂直发射上去。它达到了高度后秒。加速度是多少物体被弹出后的能量?
自,通过对位置函数微分两次,我们看到加速度是常数.在这种情况下,加速度就是重力,这就说得通了,它应该是一个常数!
问题1:衍生品
汽车在高速公路上行驶的速度由下列时间函数给出:
考虑第二个函数:
关于第二个函数我们能得出什么结论?
它代表了在给定时间内距离的变化.
它代表了汽车速度变化的速率。
它代表了另一种表示汽车速度的方法。
它和之前的函数没有关系。
它代表了汽车在某一时刻行驶的总距离.
它代表了汽车速度变化的速率。
注意这个函数是的导数吗关于时间。要看到这一点,只需对这两项分别使用幂法则。
因此,是汽车速度变化的速率,一个叫做加速度的量。
问题1:ƒ和ƒ'的图形对应特性
求函数的临界值,
1)回忆临界点的定义:
临界点函数的临界点被定义为点,这样在……的范围内的导数要么为零,要么不存在。数量称为临界数.
2)区分,
3)设为零,求解,
的重要的数字是谁,
我们还可以观察到导数在,因为项是无限的。然而,不是临界数吗因为原始函数在.原始函数在,因此的垂直渐近线是从图表中可以看出,
进一步讨论
在这个问题中,我们被要求获得临界数。如果我们被要求找到临界点,我们只需计算函数的值在临界数处找到相应的函数值,然后将它们写成有序对的集合,
问题2:ƒ和ƒ'的图形对应特性
这个函数是一个连续的二次可微函数,适用于所有实数。
如果以下为真:
哪个函数可以是?
要回答这个问题,我们必须首先解释我们所处的条件:
- 意味着函数是严格意义上的增加。
- 意味着函数是严格凹下。
我们注意到满足这两个条件的唯一给定函数是.
问题3:ƒ和ƒ'的图形对应特性
一个慢跑者离开城市在.它随后的位置(以英尺为单位)由函数给出:
,
在哪里是以分钟为单位的时间。
求慢跑者的加速度分钟。
加速度由位置函数的二阶导数给出:
对于给定的位置函数:
,
,
.
因此,在分钟是.再次注意,单位必须在.
问题1:ƒ增减行为与ƒ'符号的关系
函数在哪个区间(s)上递增,在哪个区间(s)是递减的?
减少:
增加:
增加:
减少:
增加:
减少:
增加:
减少:
增加:
减少:
首先,我们必须通过设定值来找出临界点等于零。
然后反转铝箔得到
这些是临界点。现在,我们必须在临界点所定义的每个区间上测试值,以确定的符号在每一个时间间隔。
我们检查的间隔时间是
我们有很多选择,但让我们选择吧
因此在我们的第一个区间是积极的意义正在增加。
在第二个区间是消极的意义是减少的。
在第三个区间是积极的意义正在增加。
问题2:ƒ增减行为与ƒ'符号的关系
一阶导数的符号告诉我们一个函数是递增还是递减?
一阶导数的符号并没有告诉我们函数是递增还是递减。
如果一阶导数是负的,那么函数是递减的。如果一阶导数是正的,那么函数是递增的。
如果一阶导数是正的,那么函数是递减的。如果一阶导数是负的,那么函数是递增的。
如果一阶导数是负的,那么函数是递减的,但如果一阶导数是正的,那么函数既不递增也不递减。
如果一阶导数是负的,那么函数是递减的。如果一阶导数是正的,那么函数是递增的。
一阶导数的符号告诉我们一个函数是递增还是递减?
一阶导数检验用于判断函数在某一点或区间上是递增还是递减。
要使用这个测试,首先要找到函数的导数。然后,代入点(s)的值,看看你的值上有什么符号。
如果一阶导数是负的,那么函数是递减的。如果一阶导数是正的,原函数是递增的。如果一阶导数为0,那么原始函数中就有一个拐点。
问题321:衍生品
使用一阶导数检验来判断当c=24时f(c)是增加还是减少。
递减,因为一阶导数是正的。
递减,因为一阶导数是负的。
递增,因为一阶导数是负的。
递增,因为一阶导数是正的。
递增,因为一阶导数是正的。
使用一阶导数检验来判断当c=24时f(c)是增加还是减少
首先求f(c)的一阶导数
接下来,把24代入c然后求一阶导数的符号。
现在,一阶导数是正的,所以原函数一定是递增的。
问题4:ƒ增减行为与ƒ'符号的关系
求g(t)的导数,并判断g(t)在区间[5,6]上是递增还是递减。
增加
减少
增加
减少
减少
求g(t)的导数,并判断g(t)在区间[5,6]上是递增还是递减
首先,求导数,每个指数减1然后系数乘以这个数。
接下来,代入区间的两个端点看看g'(t)的符号是什么。
显然这两个都是负的,它们之间的每个点都是负的。这意味着函数g(t)在这个区间内递减。
问题5:ƒ增减行为与ƒ'符号的关系
判断f是递增还是递减.你怎么知道的?
F (x)在增加,因为
F (x)在增加,因为
F (x)在减少,因为
F (x)在减少,因为
F (x)在减少,因为
判断f是递增还是递减.你怎么知道的?
为了检验是否增加/减少,我们需要找到一阶导数。
在这种情况下,我们可以用幂法则来求微分。
权力规则:
每一项都要用到它来求一阶导数和二阶导数。
对于每一项,我们将指数减1,然后乘以原来的指数。
现在,我们需要找出f'(-12)的符号。它会告诉我们它是增加还是减少。
因此,我们得到
所以,
F (x)在减少,因为