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AP微积分AB:函数的导数

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例子问题

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问题71:作为函数的导数

运用链式法则三级B！

求这个函数的导数

q(z)=-sin(cos(tan(z)))

可能的答案:

-sin(cos(tan(z)))*cos(sin(sec(z)))

$-cos(sin(tan(z)))*cos(tan(z))*sec^{2}(z)$

$sin(cos(sec^{2}(z)))*cos(sec^{2}(z))*sec^{2}(z)$

cos(cos(z))*sin(tan(z))*sec(z)

$cos(cos(tan(z)))*sin(tan(z))*sec^{2}(z)$

正确答案:

$cos(cos(tan(z)))*sin(tan(z))*sec^{2}(z)$

解释：

去理解为什么答案是

$q(z)=cos(cos(tan(z)))*sin(tan(z))*sec^{2}(z)$ ，

你必须明白的是导数

q(z)=sin(z)

实际上是

q'(z)=cos(z) 。

接下来，你必须明白的是导数

q(z)=cos(z)

实际上是

q'(z)=-sin(z) 。

最后，你必须明白的是

q(z)=tan(z)

实际上是

$q'(z)=sec^{2}(z)$ 。

q(z)=-sin(cos(tan(z))) 可以看作是函数的组合吗

f(z)=-sin(z) ， g(z)=cos(z) 和 h(z)=tan(z) 。

q(z) 就…而言 f(z) ， g(z) 和 h(z) 实际上是 f(g(h(z))) 这意味着

f(g(h(z)))=-sin(cos(tan(z))) 自在 -sin(z) 被替换为 cos(z) 和在 cos(z) 可以用 tan(z) 。

这意味着为了求导方程，你必须使用链式法则。链式法则告诉我们，为了求导一个复合函数，你必须对所有的复合函数按相反的顺序求导它们一步一步地作用于变量，然后把结果相乘。

的导数

q(z)=f(g(h(z)))

是……

第一步:先看最外面的函数f(z)，然后求导它

q'(z)=f'(...)

第二步:看下一个函数g(z)，把它放在另一个函数f'(z)里面

q'(z)=f'(g(...))...

第三步:看下一个函数h(z)，把它放在另一个函数g(z)里面

q'(z)=f'(g(h(z)))

第四步:微分下一个函数g(x)同时保持h(x)在g(x)和g'(x)内。但是，用g'(h(x))乘以f'(g(h(x))

q'(z)=f'(g(h(z)))*g'(h(z))...

第五步:微分下一个函数h(z)，但乘以因子f'(g(h(z)))*g'(h(z))

f'(g(h(z)))*g'(h(z))*h'(z)

既然没有复合函数可以微分了，就到此为止吧。

现在，把f'(z)， g'(z)， g'(z)， h(z)和h'(z)代入之前找到的表达式:

$cos(cos(tan(z)))*sin(tan(z)))*sec^{2}(z)$

现在你已经找到了正确答案。

-------------------------------------------------------------------------------------------

总的来说，就是用最外层函数的导数乘以内部函数的导数同时保持下一个内部函数在每一步中不变直到没有函数可以求导。这也适用于更复杂的函数。例如,

如果我们有

y=f(g(h(m(x))))

它的导数是

y'=f'(g(h(m(x))))*g'(h(m(x)))*h'(m(x))*m'(x)

注意当你从左到右求导时因子是如何变得不那么复杂的。

如果您不确定该模式，请查看下表中的模式。

链式法则表

问题71:作为函数的导数

运用链式法则一级E！

求这个函数的导数

y(x)=ln(-4x+3)

可能的答案:

$y'(x)=\frac{4}{4x-3}$

$y'(x)=\frac{-4}{3-4x}$

$y'(x)=\frac{4x-3}{ln(3-4x)}$

$y'(x)=\frac{ln(-4x-3)}{4x-3}$

$y'(x)=\frac{-4}{x}$

正确答案:

$y'(x)=\frac{4}{4x-3}$

解释：

去理解为什么答案是

$y(x)'=\frac{4}{4x-3}$ ，

你必须明白的是导数

y(x)=ln(x)

实际上是

y'(x)=1/x 。

接下来，你必须明白的是导数

y(x)=3-4x

实际上是

y'(x)=-4 。

最后，你必须明白的是

y(x)=x^2

实际上是

y'(x)=2x 。

$y(x)=ln(\sqrt{sin(x^2)})$ 可以看作是函数的组合吗

f(x)=ln(x) ， $g(x)=\sqrt{sin(x)}$ 和 h(x)=x^2 。

我们没有定义的原因 $g(x)=\sqrt{x}$ ， h(x)=sin(x) 和 m(x)=x^2

是因为财产吗 ln(x^a)=a*ln(x) 之前提到过,

把

$ln(\sqrt{g(h(x))})$

成

$\frac{1}{2}*ln(g(h(x)))$

y(x) 就…而言 f(x) ， g(x) 和 h(x) 实际上是 f(g(h(x))) 这意味着

$f(g(h(x)))=\frac{1}{2}*ln(sin(x^2))$ 自在 ln(x) 被替换为 sin(x) 和在 sin(x) 可以用 x^2 。

这意味着为了求导方程，你必须使用链式法则。链式法则告诉我们，为了求导一个复合函数，你必须对所有的复合函数按相反的顺序求导它们一步一步地作用于变量，然后把结果相乘。

的导数

y(x)=f(g(h(x)))

是……

第一步:先看最外面的函数f(x)，然后求导

y'(x)=f'(...)

第二步:看下一个函数g(x)，把它放在另一个函数f'(x)里面。

y'(x)=f'(g(...))...

第三步:看下一个函数h(x)，把它放在另一个函数g(x)里面

y'(x)=f'(g(h(x)))

第四步:微分下一个函数g(x)同时保持h(x)在g(x)和g'(x)内。但是，用g'(h(x))乘以f'(g(h(x))

y'(x)=f'(g(h(x)))*g'(h(x))...

第五步:微分下一个函数h(x)，然后乘以因子f'(g(h(x)))*g'(h(x))

f'(g(h(x)))*g'(h(x))*h'(x)

既然没有复合函数可以微分了，就到此为止吧。

现在，用f'(x)， g(x)， g'(x)， h(x)和h'(x)代入之前的表达式:

$\frac{1}{2}\frac{1}{sin(x^2)}*cos(x^2)*2x$ 这是 x*cot(x^2)

现在你已经找到了正确答案。

-------------------------------------------------------------------------------------------

把它加起来，就是用最外层函数的导数乘以内部函数的导数同时保持下一个内部函数的导数在每一步都保持不变直到没有函数可以求出它的导数。这也适用于更复杂的函数。例如,

如果我们有

y=f(g(h(m(x))))

它的导数是

y'=f'(g(h(m(x))))*g'(h(m(x)))*h'(m(x))*m'(x)

注意当你从左到右求导时因子是如何变得不那么复杂的。

如果您不确定该模式，请查看下表中的模式。

链式法则表

问题73:作为函数的导数

运用链式法则三级C！

求这个函数的导数

$y(x)=\frac{1}{ln((x^2+3)^{-2})}$

可能的答案:

$y'(x)=-\frac{ln^2(x^2+3)}{2x}$

$y'(x)=\frac{-x-2}{-2x^22ln(\frac{1}{(x^2+3)})}$

$y'(x)=\frac{4x}{(x^2+3)*ln^2(\frac{1}{(x^2+3)^2})}$

$y'(x)=\frac{x^2+3}{2x*ln^2(\frac{1}{(x^2+3)^2})}$

$y'(x)=\frac{2x*(x^2+3)}{\frac{1}{x}*(x^2+3)}$

正确答案:

$y'(x)=\frac{4x}{(x^2+3)*ln^2(\frac{1}{(x^2+3)^2})}$

解释：

去理解为什么答案是

$y'(x)=\frac{4x}{(x^2+3)*ln^2(\frac{1}{(x^2+3)^2})}$ ，

那么，你必须明白的是导数

$\large y(x)=\frac{1}{x}$

实际上是

$\large y'(x)=\frac{-1}{x^2}$ 。

接下来，你必须明白的是导数

$\large y(x)=ln(x)$

实际上是

$\large y'(x)=\frac{1}{x}$ 。

最后，你必须明白的是

$\frac{1}{(2x+3)^2}$

实际上是

$y'(x)=\frac{-4x}{(x^2+3)^3}$ 。

$y(x)=\frac{1}{ln((x^2+3)^{-2})}$ 可以看作是函数的组合吗

$f(x)=\frac{1}{x+a}$ ， g(x)=ln(x+a) 和 h(x)=x^2+a 。

y(x) 就…而言 f(x) ， g(x) 和 h(x) 实际上是 f(g(h(x))) 这意味着

$f(g(h(x)))=\frac{1}{ln((x^2+3)^{-2})}$ 自在 $\frac{1}{x+a}$ 被替换为 ln(x) 和在 ln(x) 可以用 $\frac{1}{(x^2+3)^2}$ 。

这意味着为了求导方程，你必须使用链式法则。链式法则告诉我们，为了求导一个复合函数，你必须对所有的复合函数按相反的顺序求导它们一步一步地作用于变量，然后把结果相乘。

的导数

y(x)=f(g(h(x)))

是……

第一步:先看最外面的函数f(x)，然后求导

y'(x)=f'(...)

第二步:看下一个函数g(x)，把它放在另一个函数f'(x)里面。

y'(x)=f'(g(...))...

第三步:看下一个函数h(x)，把它放在另一个函数g(x)里面

y'(x)=f'(g(h(x)))

第四步:微分下一个函数g(x)同时保持h(x)在g(x)和g'(x)内。但是，用g'(h(x))乘以f'(g(h(x))

y'(x)=f'(g(h(x)))*g'(h(x))...

第五步:微分下一个函数h(x)，然后乘以因子f'(g(h(x)))*g'(h(x))

f'(g(h(x)))*g'(h(x))*h'(x)

既然没有复合函数可以微分了，就到此为止吧。

现在，用f'(x)， g(x)， g'(x)， h(x)和h'(x)代入之前的表达式:

$\large \large y'(x)=\frac{4x}{(x^2+3)*ln^2(\frac{1}{(x^2+3)^2})}$

现在你已经找到了正确答案。

-------------------------------------------------------------------------------------------

把它加起来，就是用最外层函数的导数乘以内部函数的导数同时保持下一个内部函数的导数在每一步都保持不变直到没有函数可以求出它的导数。这也适用于更复杂的函数。例如,

如果我们有

y=f(g(h(m(x))))

它的导数是

y'=f'(g(h(m(x))))*g'(h(m(x)))*h'(m(x))*m'(x)

注意当你从左到右求导时因子是如何变得不那么复杂的。

如果您不确定该模式，请查看下表中的模式。

链式法则表

问题71:作为函数的导数

求出图像的切线方程 $y = x + x ^ {2}$ 点 (4,6) 。

可能的答案:

$y = 1 + \压裂{1}{2}x ^ {2}$

$y ' = 1 + \压裂{1}{2 (x ^ {5})}$

$y = \压裂{5}{4}x + 1$

$y = \压裂{1}{2 x ^ {5}}$

$y = 1 + \压裂{1}{2 (6 ^ {5})}$

正确答案:

$y = \压裂{5}{4}x + 1$

解释：

$y = x + x ^ {2}$

$y ' = 1 + \压裂{1}{2}x ^ {2}$

$y ' = 1 + \压裂{1}{2 (x ^ {5})}$

现在我们代入 x=4 。

$y ' = 1 + \压裂{1}{2(4 ^{5})}= 1 + \压裂{1}{4}= \压裂{5}{4}$ 这是斜率。

现在用点斜率公式求切线。

$y-6 = \压裂{5}{4}(* 4)$

$y-6 = \压裂{5}{4}x5$

$y = \压裂{5}{4}x + 1$

问题1:求凹凸区域

在这一点上 x=2 ，为函数 -8x^2+15 增加还是减少，凹还是凸?

可能的答案:

函数在这一点上没有定义

增加,凸

减少,凹

增加,凹

减少,凸

正确答案:

减少,凸

解释：

首先，我们来看看图形是递增还是递减。为此，我们需要一阶导数。

为了求一阶导数，我们可以用幂次法则。把所有变量的指数都减1然后乘以原来的变量。

我们要请客作为 15x^0 因为任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-8x^2+15)=(2*-8x^{2-1})+(0*15x^{0-1})$

请注意, $(0*15x^{0-1})=0$ 因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-8x^2+15)=(2*-8x^{1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-8x^2+15)=-16x$

代入给定的点。如果结果为正，则函数在增加。如果结果为负，则函数在减小。

y=-16x

y=-16(2)

y=-32

结果是负的，因此函数是递减的。

为了求凹度，看一下二阶导数。如果函数在给定点是正的，那么它是凹的。如果函数是负的，它是凸的。

为了求二阶导数，我们重复这个过程，但是用 -16x 就像我们的表达。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-16x)=1*-16x^{1-1}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-16x)=-16x^{0}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-16x)=-16$

如你所见，二阶导数是常数。代入哪个点都没关系;我们的输出总是负的。因此我们的图总是凸的。

结合我们的两条信息可以看到，在给定的点，图形是递减的，并且是凸的。

问题2:求凹凸区域

当 x=3 的图形的凹度是多少 $2x^4+\frac{1}{2}x$ ？

可能的答案:

增加,凸

没有足够的数据来解决。

减少,凹

减少,凸

增加,凹

正确答案:

增加,凸

解释：

为了求凹度，我们需要看一下给定点的一阶和二阶导数。

要对这个方程求一阶导数，使用幂次法则。幂次法则是将每个变量的指数降低1，然后乘以原来的指数:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x^4+\frac{1}{2}x)=(4*2x^{4-1})+(1*\frac{1}{2}x^{1-1})$

简化:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x^4+\frac{1}{2}x)=(4*2x^{3})+(\frac{1}{2}x^{0})$

记住，任何数的0次方都等于1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x^4+\frac{1}{2}x)=(8x^{3})+(\frac{1}{2}*1)$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x^4+\frac{1}{2}x)=8x^{3}+\frac{1}{2}$

一阶导数告诉我们函数是递增还是递减。代入给定的点， x=3 ，看看结果是正的(即增加)还是负的(即减少)。

$y=8(3)^{3}+\frac{1}{2}$

y=216.5

因此函数是递增的。

为了确定函数是否为凸函数，我们需要看一下在同一点的二阶导数， x=3 ，并检查是正的还是负的。

我们要请客 $\frac{1}{2}$ 作为 $\frac{1}{2}x^0$ 因为任何数的0次方都等于1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(8x^{3}+\frac{1}{2})=(3*8x^{3-1})+(0*\frac{1}{2}x^{0-1})$

请注意, $(0*\frac{1}{2}x^{0-1})=0$ 因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(8x^{3}+\frac{1}{2})=(3*8x^{2})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(8x^{3}+\frac{1}{2})=24x^{2}$

代入我们给定的值:

y=24(3)^2

y=216

因为二阶导数是正的，所以函数是凸的。

因此，我们看到的图在给定的点上既是递增的又是凸的。

问题1:求凹凸区域

在这一点上 x=-5 ,是 5x^2+12x 增加还是减少，是凹还是凸?

可能的答案:

减少,凸

该图在点处无定义 x=-5

增加,凸

增加,凹

减少,凹

正确答案:

减少,凸

解释：

要知道函数是递增还是递减，我们需要看一阶导数。

为了求一阶导数，我们可以用幂次法则。把所有变量的指数都减1然后乘以原来的变量。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=(2*5x^{2-1})+(1*12x^{1-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=(2*5x^{1})+(1*12x^{0})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=10x^1+12x^0$

任何0的次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=10x^1+12(1)$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=10x+12$

现在我们代入给定的值看看结果是正的还是负的。如果它是正的，函数是递增的。如果它是负的，函数是递减的。

y=10x+12

y=10(-5)+12

y=-50+12

y=-38

因此，函数是递减的。

要知道它是凹的还是凸的，看一下二阶导数。如果结果是正的，它就是凸的。如果它是负的，那么它是凹的。

为了求二阶导数，我们重复这个过程，使用 10x+12 就像我们的表达。

我们要请客作为 12x^0 。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(10x+12)=(1*10x^{1-1})+(0*12x^{0-1})$

请注意, $(0*12x^{0-1})=0$ 因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(10x+12)=(1*10x^{1-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(10x+12)=(10x^{0})$

如前所述，任何0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(10x+12)=10$

因为我们得到了一个正的常数，所以不管我们从图的哪个方向看，二阶导数总是正的。这就意味着这个图在给定点处是凸的。

因此，函数在给定的点上是递减和凸的。

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