例子问题
问题41:抗分化技术
使用变量替换(即u替换)来计算积分,
这样的积分在微积分入门课程中很常见。寻找规律通常是有用的,比如在我们的例子中,在根号下的多项式,,恰好比根号外的因子高一个阶,你知道如果你对一个二阶多项式求导你会得到一个一阶多项式,所以让我们定义变量:
(1)
对。求导写微分,
(2)
请看式(2),我们可以解出,以获得.现在如果我们看一下原始的积分我们可以写成
现在继续对.
现在把结果写成由式(1)可知,
例子问题2:变量替换不定积分法
用u替换来求细
让
然后
现在我们可以代入
现在我们把它代回去
例子问题3:变量替换不定积分法
评估
我们可以对这个积分进行替换。
让,
然后.
最后一个方程乘以,我们得到.
现在可以做替换了
.开始
.换出与,与.一定要把积分限代入为得到新的积分限。
.提出因式.
.积分(不需要绝对值符号,因为.)
.评估
.
问题4:变量替换不定积分法
用代换法求解如下积分:
要解这个积分,我们必须用变量化简它u代入变量x。
对于这个问题,我们用u替换表达式.
接下来,我们必须对u求导,它的导数是.
接下来,解出dx的方程,这样我们就可以把它代入积分中。
插头代替和代替代入原积分并化简。
的分母上的余数约掉了在积分中,留下a.我们可以拉在积分的前面。接下来,求被积函数的不定积分,将u替换为原来的表达式,加上常数为了答案。
具体步骤如下:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
例5:变量替换不定积分法
用代换法求解如下积分:
要解这个积分,我们必须用变量化简它代入一个变量.对于这个问题,我们用u替换表达式.接下来,我们必须对u求导,它的导数是.接下来,解这个方程所以我们可以把它代入积分中。插头代替和代替代入原积分并化简。的分母上的余数约掉了在积分中,留下a.我们可以拉在积分的前面。接下来,求被积函数的不定积分并替换对于原始表达式,添加常量为了答案。具体步骤如下:
1.
2.=
3.
4.
5.
6.
7.
8.
例子问题6:变量替换不定积分法
用代换法求解如下积分:
要解这个积分,我们必须用变量化简它代入一个变量.对于这个问题,我们用u替换表达式.接下来,我们必须求导.它的导数是.接下来,解这个方程所以我们可以把它代入积分中。插头代替和代替代入原积分并化简。的分母上的余数约掉了在积分中,留下a.接下来,求被积函数的不定积分并替换对于原始表达式,添加常量为了答案。具体步骤如下:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
例子问题1:变量替换不定积分法
用代换法求解如下积分:
要解这个积分,我们必须用变量化简它代入一个变量.对于这个问题,我们用u替换表达式.接下来,我们必须求导.它的导数是.接下来,解这个方程所以我们可以把它代入积分中。插头代替和代替代入原积分并化简。的分母上的余数约掉了在积分中,留下a.我们可以拉在积分的前面。接下来,求被积函数的不定积分并替换对于原始表达式,添加常量为了答案。具体步骤如下:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
例8:变量替换不定积分法
用代换法求解如下积分:
要解这个积分,我们必须用变量化简它代入一个变量.对于这个问题,我们用u替换表达式.接下来,我们必须求导.它的导数是.接下来,解这个方程所以我们可以把它代入积分中。插头代替和代替代入原积分并化简。的分母上的余数约掉了在积分中,留下a.我们可以拉在积分的前面。接下来,求被积函数的不定积分并替换对于原始表达式,添加常量为了答案。具体步骤如下:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
问题9:变量替换不定积分法
用代换法求解如下积分:
要解这个积分,我们必须用变量化简它代入一个变量.对于这个问题,我们用u替换表达式.接下来,我们必须求导.它的导数是.接下来,解这个方程所以我们可以把它代入积分中。插头代替和代替代入原积分并化简。的分母上的余数约掉了在积分中。接下来,求被积函数的不定积分并替换对于原始表达式,添加常量为了答案。具体步骤如下:
1.
2.
3.
4.
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6.
7.
例子问题10:变量替换不定积分法
用代换法求解如下积分:
要解这个积分,我们必须用变量化简它代入一个变量.对于这个问题,我们用u替换表达式.接下来,我们必须求导.它的导数是.接下来,解这个方程所以我们可以把它代入积分中。插头代替和代替代入原积分并化简。的分母上的余数约掉了在积分中。接下来,求被积函数的不定积分并替换对于原始表达式,添加常量为了答案。具体步骤如下:
1.
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4.
5.
6.
7.
8.