把常数提出来:

把tanx写成sin和cos的形式

进行以下替换:

对被积函数进行替换:

求积分:

将u的值重新代入方程:

解决方案:

将被积函数重写如下:

进行以下替换:

对被积函数进行替换:

求积分:

重新代入u的值:

解决方案:

进行以下替换:

利用上述代换计算新的积分极限:

用换元法和新的积分极限重写定积分

求定积分:

解决方案:

知道一个和的积分等于积分的和，把这个积分分解成两个单独的积分:

求第一个积分:

在第二个积分中做如下替换:

对积分进行替换:

求积分:

结合第一个和第二个积分的结果:

解决方案:

利用积分的加减性质将积分分解为3个单独的积分:求第二个积分:

将第三个积分重写如下:

求第三个积分:

做下面的替换来计算第一个积分:

对第一个积分进行替换:

求积分:

将u的值代回方程:

将这三个积分的结果合并成一个方程:

解决方案:

进行以下替换:

对被积函数进行替换:

求积分:

重新代入u的值:

解决方案:

这个积分里有很多部分。有三角函数、指数函数和有理排列。有很多可能性。

这就是u替换最好用的地方。试着让u代表不同的部分，看看du是否能得到所有其他部分。这样做足够多次之后，你会发现我们应该让u成为e的指数。

我们把里面的分数写成负指数的x

现在我们求导，看看du是什么。这需要链式法则。外部结构是，这需要三角函数积分规则，而链式内部结构是幂规则排列

回想一下这些衍生品:

应用这些，我们得到

简化让我们

这和积分的其余部分完全匹配。我们用u和du重新写一下

这符合基本的积分形式，

因此，当我们积分时，我们得到

重新写成x的形式，我们得到

这就是我们的答案。

求这个积分有两种方法:

(1)用正弦和余弦的形式重写并求值

(2)打破成和

在本解释中，我们将执行选项(2)。

分手，我们得到下面的积分

注意部分是导数。我们利用这个事实来做下面的u替换

微分求du，用链式法则和幂次法则

这个du可以解释积分的其他部分。写成u的形式，我们得到

它遵循基本的积分形式，。

应用这个规则，我们得到

现在我们用原来的代换，将x项“反代换”回，。

这给了我们

这是正确答案。

这个积分可以用u替换来求值。没有任何组的幂次幂所以我们就不用幂次法则求积分了。相反，我们注意到积分仍然是一个巨大的分数。我们将尝试匹配这个基本的积分形式:

我们把分母写成。

微分得到。

这看起来不像分子，但如果我们提出x，它就像。

现在我们把所有的零件都完美地搭配好了。我们来做替换。

应用之前的基本积分形式，我们得到

把所有东西都用x表示，我们得到

。

这是正确答案。