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代数II:解根方程

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例子问题

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问题1:求解根方程

解出：

$x + 3 \sqrt{x} = 28$

可能的答案:

其他回答都不正确。

$x = 49 \textup{ or }x = 16$

$x = - \sqrt{7} \textup{ or }x = 2$

$x = -49 \textup{ or }x = 16$

$x = i \sqrt{7} \textup{ or }x = 2$

正确答案:

其他回答都不正确。

解释：

解这个方程的一种方法是代入为 $\sqrt{x}$ 随后, $u^{2}$ 为：

$x + 3 \sqrt{x} = 28$

$u^{2} + 3 u = 28$

$u^{2} + 3 u - 28 = 0$

将表达式因式分解，求解二次方程:

(u+7)(u-4) = 0

设每个线性二项式为0，求解:

u + 7 = 0

u = -7

或

u - 4 = 0

u = 4

替代:

u = -7

$\sqrt{x}= -7$ 这是不可能的。

u = 4

$\sqrt{x}= 4$

x = 16 -这是唯一的解决办法。

没有一个回复是这么说的 x = 16 是唯一的解决办法。

问题2:求解根方程

解下面的根式方程。

$\frac{10\sqrt{8}}{\sqrt{16}} + 3\sqrt{2}$

可能的答案:

$\frac{10}{\sqrt{2} } +3\sqrt{2}$

$13\sqrt{2}$

$8\sqrt{2}$

$5\sqrt{8} + 3\sqrt{2}$

正确答案:

$8\sqrt{2}$

解释：

我们可以化简分数:

$\frac{10\sqrt{8}}{\sqrt{16}} = \frac{10\sqrt{4\times 2}}{4}=\frac{10(2\sqrt{2})}{4} =\frac{20\sqrt{2}}{4}=5\sqrt{2}$

代入方程得到:

$5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$

注意:因为它们很像项，我们可以把它们相加。

问题3:求解根方程

解下面的根式方程。

$\sqrt{x-6} =2$

可能的答案:

x=2

x=-10

x=10

$x=6 +\sqrt{2}$

正确答案:

x=10

解释：

为了解这个方程，我们需要知道这个

$(\sqrt{x-6})^{2} = x-6$

如何?因为这两个事实:

$\sqrt{x-6} = (x-6)^{\frac{1}{2}}$
指数的幂法则:当我们取一个幂的一个幂时，我们需要把指数相乘

$\frac{1}{2} \times2=1$

考虑到这一点，我们可以解这个方程:

$\sqrt{x-6} =2$

为了消去自由基，我们需要平方它。我们在一边做的，我们也必须在另一边做。

$(\sqrt{x-6})^{2} = 2^{2}$

x-6=4

x=10

问题4:求解根方程

解下面的根式方程。

$\sqrt{\frac{x}{2}}=5$

可能的答案:

x=50

x=10

$x=2\sqrt{5}$

$x=\sqrt{10}$

正确答案:

x=50

解释：

为了解这个方程，我们需要知道这个

$\bigg(\sqrt{\frac{x}{2}}\bigg)^{2} =\frac{x}{2}$

注意:这是由于指数的幂法则。

考虑到这一点，我们可以解这个方程:

$\sqrt{\frac{x}{2}} =5$

为了消去根式，我们对它平方。记住我们在一边做的，我们也必须在另一边做。

$\bigg(\sqrt{\frac{x}{2}}\bigg)^{2} =5^{2}$

$\frac{x}{2} =25$

$\frac{2}{1} \bigg(\frac{x}{2}\bigg)=25\bigg(\frac{2}{1}\bigg)$

x=50

问题5:求解根方程

解出x: $\sqrt{2x+1} = 11$

可能的答案:

240

$\frac{\sqrt{11} + 1 }{2}$

$\sqrt{5}$

正确答案:

解释：

要求解，请执行逆运算，记住运算顺序:

$\sqrt{2x+1} = 11$ 首先，两边平方

2x + 1 = 121 减去1

2x = 120 除以2

x = 60

问题6:求解根方程

解出x: $(\sqrt{x} + 19 )^2 = 10,000$

可能的答案:

9,999.999

6,561

1,899.5

507.3158

正确答案:

6,561

解释：

要求解，请执行逆运算，记住运算顺序:

$(\sqrt x + 19 ) ^ 2 = 10,000$ 两边开平方根

$\sqrt x + 19 = 100$ 两边同时减去19

$\sqrt{x } = 81$ 两边平方

x = 6,561

问题7:求解根方程

解出x: $5\sqrt{x - 12 } = 20$

可能的答案:

40.96

正确答案:

解释：

要解决这个问题，请使用逆运算，记住运算顺序:

$5\sqrt {x-12} = 20$ 两边同时除以5

$\sqrt{x-12 } = 4$ 两边平方

x - 12 = 16 两边同时加上12

x = 28

问题1:解和画根式

解出．

$\sqrt{x}=4$

可能的答案:

$\pm2$

正确答案:

解释：

$\sqrt{x}=4$ 为了消去根式，我们两边平方。

x=4^2=16

问题1:求解根方程

解出．

$\sqrt{x}=-5$

可能的答案:

$\pm5$

$\pm25$

没有答案

正确答案:

没有答案

解释：

为了消去根式，我们需要两边平方。问题是，除非我们讨论虚数，否则根号不会产生负数。在这种情况下，我们的答案选择应该是没有答案。

问题10:求解根方程

解出．

$\sqrt{x+1}=5$

可能的答案:

正确答案:

解释：

$\sqrt{x+1}=5$ 两边平方，消去根号。

x+1=5^2=25 减去两边都是。

x=24

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