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代数2:求解和绘制对数

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例子问题

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问题1:解决对数

解出：

$5^{x} = \left(\frac{1}{25}\right)^{4x-1}$

可能的答案:

$x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{-2}{7}$

$x = \frac{-1}{2}$

$x = \frac{1}{3}$

$x = \frac{2}{9}$

正确答案:

$x = \frac{2}{9}$

解释：

解出，先将两边换算成同底数:

$5^{x} = \frac{1}{25}^{4x-1} = (5^{-2})^{4x-1} = 5^{-8x+2}$

现在，底数相同，指数可以相等:

x= - 8x +2

解给:

$x = \frac{2}{9}$

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问题2:解决对数

解方程:

$\log{_{4}}{x^{2}}+\log{_{4}}{3}=1$

可能的答案:

$\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{\sqrt{6}}{3}$

1,-1

$\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}$

正确答案:

$\frac{2\sqrt{3}}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}$

解释：

$\log{_{4}}{x^{2}}+\log{_{4}}{3}=1$

$\Rightarrow \log{_{4}}{x^{2}}+\log{_{4}}{3}=\log{_{4}}{4}$

$\Rightarrow log{_{4}}{(x^{2}\times 3)}=\log{_{4}}{4}$

$\Rightarrow 3x^{2}=4$

$\Rightarrow x^{2}=\frac{4}{3}$

$\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{3}}{3}, x=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

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问题3:解决对数

使用 $\small \small \log_23\approx 1.5850$ 的近似值 $\small \log_2 24$ ．

可能的答案:

$\small \log_2 24\approx 12.5850$

$\small \log_2 24\approx 4.5850$

$\small \log_2 24\approx 3.4150$

$\small \log_2 24\approx 3.5850$

$\small \log_2 24\approx 12.6800$

正确答案:

$\small \log_2 24\approx 4.5850$

解释：

重写作为一个包含数字的产品：

$\small \log_2 24 = \log_2 (2^3 \cdot 3)$

然后我们可以用对数的乘积性质来分解对数:

$\small \log_2 (2^3\cdot 3) = \log_2 2^3 + \log_2 3$

$\small =3+\log_2 3$

$\small \approx 3 + 1.5850$

因此,

$\small \log_2 24 \approx 4.5850$ ．

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问题4:解决对数

解出．

$log_{9}^{ }(2x+1)=2$

可能的答案:

x=41

$x=\frac{81}{2}$

x=20

x=40

$x=\frac{17}{2}$

正确答案:

x=40

解释：

重写成指数形式:

$9^{2}=2x+1$

解出x:

81=2x+1

x=40

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问题5:解决对数

解以下方程:

ln(3x+8)=0

可能的答案:

$-\frac{7}{3}$

$\frac{8}{7}$

$-\frac{8}{3}$

$\frac{1}{3}$

正确答案:

$-\frac{7}{3}$

解释：

对于这个问题，我们要记住，

ln(3x+8) = 0 相当于 ln(3x+8) = ln(1) 因为 ln(1)=0

因此，我们可以将括号内的值设为相等，然后求解如下:

3x+8=1

3x=-7

$x=-\frac{7}{3}$

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问题6:解决对数

解出：

log_6x=5

可能的答案:

7776

15625

10000

正确答案:

7776

解释：

要解这个对数，我们需要知道如何读对数。对数是指数函数的反函数。如果指数方程是

a^c = b

那么它的逆函数，或者说对数，是

log_ab=c

因此，对于这个问题，为了解决，我们只需要解决

6^5=x

这是 7776 ．

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问题7:解决对数

$\log x+\log\left ( x+21\right )=2$

解出．

可能的答案:

100

正确答案:

解释：

对数是以10为底数的指数函数，一个特性是你可以通过相乘来组合加法对数。

$x(x+21)=10^{2}$

$x^{2}+21x=100$

(x+25)(x-4)=0

你不能取负数的对数。x = -25是无关的。

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问题8:解决对数

如果 $\log_{x}36=2$ 的可能值?

可能的答案:

正确答案:

解释：

这个问题是测试日志的定义。 $\log_{a}b=x$ 就等于 $a^{x}=b$ ．

在这种情况下, $\log_{x}36=2$ 可以改写为 $x^{2}=36$ ．

两边同时开根号，就得到 $x=\pm 6$ ．因为只有正面答案是选项之一，是正确答案。

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问题9:解决对数

重写指数形式的对数

解出下图:

$3^{x}=15$

下面哪个选项用对数形式表示这个函数?

可能的答案:

$log{_{15}}{3}=x$

$log{_{x}}{15}=3$

$log{_{x}}{3}=15$

$log{_{3}}{15}=x$

正确答案:

$log{_{3}}{15}=x$

解释：

第一步是把这个方程改写成对数形式。

当把指数函数写成对数函数时，我们必须记住指数的形式是:

$b^{^{x}}=a$

当以日志形式重写时，它是:

$log{_{b}}(a)=x$ ．

因此我们有 $3^{x}=15$ 当重写后，我们知道，

$log{_{3}}{15}=x$ ．

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问题10:解决对数

解出：

$log_3x=\frac{1}{3}log_364+\frac{1}{2}log_349$ ．

可能的答案:

x=522.7

x=45.8

没有足够的信息

x=11

x=28

正确答案:

x=28

解释：

用对数的指数法则把所有乘数变成指数:

$log_3x=log_364^\frac{1}{3}+log_349^\frac{1}{2}$ ．

通过应用指数进行简化: log_3x=log_34+log_37 ．

根据对数相加定律， log_b(mn) = log_b(m) + log_b(n) ．

因此，4和7相乘。

log_3x=log_328 ．

因为两边底边相同， x=28 ．

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