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代数II:二次函数

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例子问题

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问题11:二次函数

求抛物线顶点的位置: y=2(3x+3x^2)

可能的答案:

$x=-\frac{1}{4}$

$x=-\frac{1}{2}$

$x=-\frac{3}{2}$

x=-1

$x=-\frac{1}{3}$

正确答案:

$x=-\frac{1}{2}$

解释：

把这两个乘上二项式。

y=2(3x+3x^2) = 6x+6x^2 = 6x^2+6x

这是多项式的阶数 y=ax^2+bx+c ，我们可以用顶点公式。

$x=-\frac{b}{2a}$

代入已知系数。

$x=-\frac{b}{2a} =-\frac{6}{2(6)}=-\frac{1}{2}$

答案是: $x=-\frac{1}{2}$

问题12:二次函数

求出抛物线顶点的位置。它是最大值还是最小值?

y=-2x^2+6x+7

可能的答案:

$\textup{Max at }x=\frac{2}{3}$

$\textup{Min at }x=\frac{3}{2}$

$\textup{Max at }x=\frac{3}{2}$

$\textup{Min at }x=\frac{2}{3}$

$\textup{Max at }y=\frac{3}{2}$

正确答案:

$\textup{Max at }x=\frac{3}{2}$

解释：

多项式的形式为: y=ax^2+bx+c

这是抛物线的标准形式。

写出顶点公式，代入已知值:

$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2(-2)} = \frac{6}{4} =\frac{3}{2}$

顶点在: $x=\frac{3}{2}$

因为的系数是负的，曲线将向下打开，并将有一个最大值。

答案是: $\textup{Max at }x=\frac{3}{2}$

问题13:二次函数

某条抛物线的顶点是 (-5,-5) 和原点处的x轴截距。求抛物线的方程。

可能的答案:

.2x^2+2x=y

x^2+5x=y

x^2+2x=y

x^2+10x=y

这些都不是

正确答案:

.2x^2+2x=y

解释：

一般抛物线方程:

ax^2+bx+c=y

顶点公式:

$h=\frac{-b}{2a}$

在哪里是顶点处的值。

结合方程:

ax^2-2ahx+c=y

为顶点插入值:

a(-5)^2-2a(-5)(-5)+c=(-5)

解：

c=25a-5

返回:

ax^2+bx+c=y

结合方程:

ax^2+bx+25a-5=y

代入给定截距的值:

a*0^2+b*0+25a-5=0

解

a=.2

插入值:

c=25(.2)-5

c=0

插入顶点的值:

.2(-5)^2+b(-5)+0=(-5)

5-5b=-5

b=2

最后的方程:

.2x^2+2x=y

问题1:二次函数

下面哪个函数代表一条抛物线?

可能的答案:

f(x) = 5

$f(x) = \frac{4x^{2}}{x^{3}}$

$f(x) = x^{2} - y^{2}$

f(x) = x

$f(x) = x^{2} - 9$

正确答案:

$f(x) = x^{2} - 9$

解释：

抛物线是可以用二次方程表示的曲线。这里唯一的二次元由函数表示 $f(x) = x^{2} - 9$ ，而其他图形则表示直线、圆和其他曲线。

问题14:二次函数

抛物线的顶点在哪里 y=3(3-2x)^2-1 ？它是最大值还是最小值?

可能的答案:

$( \frac{3}{2},-1), \textup{Maximum}$

$( \frac{2}{3},\frac{22}{3}), \textup{Maximum}$

$( \frac{2}{3},\frac{22}{3}), \textup{Minimum}$

$( \frac{3}{2},-1), \textup{Minimum}$

$( -\frac{3}{2},107), \textup{Maximum}$

正确答案:

$( \frac{3}{2},-1), \textup{Minimum}$

解释：

为了求解顶点，不需要对二项式进行FOIL。交换数量的条件 (3-2x) ，这个方程是顶点形式:

y=a(x-h)^2+k

y=3(-2x+3)^2-1

将内部数量设为零。

-2x+3 = 0

两边同时减去3。

-2x+3 -3= 0-3

-2x=-3

两边同时除以- 2。

$\frac{-2x}{-2}=\frac{-3}{-2}$

顶点的位置是 $x = \frac{3}{2}$ 。

要确定点，请替换值 $x = \frac{3}{2}$ 回到原来的方程。

$y=3(3-2(\frac{3}{2}))^2-1 = 3(3-3)^2-1 = 0-1 = -1$

顶点的点在: $( \frac{3}{2},-1)$

由于这条抛物线向上打开，顶点的点将是最小值。

答案是: $( \frac{3}{2},-1), \textup{Minimum}$

问题15:二次函数

给定函数的顶点在哪里? y=-2x^2-x-1

可能的答案:

$(-\frac{1}{4},\frac{5}{8})$

$(\frac{1}{4},-\frac{11}{8})$

$(-\frac{1}{4},-\frac{11}{8})$

$(-\frac{1}{4},-\frac{7}{8})$

$(-\frac{1}{4},-\frac{5}{8})$

正确答案:

$(-\frac{1}{4},-\frac{7}{8})$

解释：

写出顶点公式。

$x=-\frac{b}{2a}$

给定的方程已经是标准多项式形式了。

a=-2, b=-1, c=-1

将已知值代入公式。

$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2(-2)} = -\frac{1}{4}$

把这个值代回原方程，求出y值。

$y=-2(-\frac{1}{4})^2-(-\frac{1}{4})-1$

简化这个表达式。

$y=-2(\frac{1}{16})+\frac{1}{4}-1 = -\frac{1}{8}+\frac{1}{4}-1$

$y=-\frac{1}{8}+\frac{2}{8}-\frac{8}{8}=-\frac{7}{8}$

顶点位于: $(-\frac{1}{4},-\frac{7}{8})$

问题16:二次函数

下面哪个函数表示抛物线?

可能的答案:

y=5x-4

y=2x^3+2x^2+4

y^2=x^2

0=3x^2+7-y

正确答案:

0=3x^2+7-y

解释：

抛物线是用二次函数表示的曲线。在这种情况下，唯一符合条件的答案是 0=3x^2+7-y 。其他答案表示直线和其他类型的曲线。

问题17:二次函数

顶点的位置在哪里 y=5x-3x^2 ？

可能的答案:

$(-\frac{5}{6},-\frac{25}{4} )$

$(\frac{5}{6},\frac{25}{12} )$

$(-\frac{5}{6},-\frac{75}{4} )$

$(\frac{3}{10}, \frac{123}{100})$

$(\frac{5}{6},\frac{75}{4} )$

正确答案:

$(\frac{5}{6},\frac{25}{12} )$

解释：

把方程写成标准多项式形式。

y=ax^2+bx+c

y=-3x^2+5x

a=-3, b=5, c=0

写出顶点公式，代入已知系数。

$x=-\frac{b}{2a} = -\frac{5}{2(-3)} = \frac{5}{6}$

顶点的x值是 $\frac{5}{6}$ 。

把这个值代回原方程。

$y=-3(\frac{5}{6})^2+5(\frac{5}{6})$

$y=-3(\frac{5}{6})(\frac{5}{6})+5(\frac{5}{6})$

$y=-\frac{25}{12}+\frac{25}{6} = -\frac{25}{12}+\frac{25(2)}{6(2)} =-\frac{25}{12}+\frac{50}{12}$

$y=\frac{25}{12}$

顶点位于: $(\frac{5}{6},\frac{25}{12} )$

问题18:二次函数

给定函数确定顶点: y=3x^2-6

可能的答案:

(-2,6)

$\left(-\frac{1}{2}, \frac{21}{4}\right)$

$\left(\frac{1}{2}, \frac{21}{4}\right)$

(0,-6)

(2,6)

正确答案:

(0,-6)

解释：

抛物线以的形式表示 y=ax^2+bx+c 。

注意变量在这个方程中是零。

这意味着:

$x=-\frac{b}{2a} = 0$

把这个值代回原方程 y=3x^2-6 来确定y值。

y=3(0)^2-6

y=-6

顶点位于: (0,-6)

问题19:二次函数

下列均为向下抛物线方程，除:

可能的答案:

$y = -(x+3)^{2}$

$y = -6(x+4)^{2} -6$

$y = -x^{2}$

$y = -6(x-4)^{2} -6$

$x = 2(y+3)^{2} -5$

正确答案:

$x = 2(y+3)^{2} -5$

解释：

向下开口的抛物线有一般公式

$y = -(x-a)^{2} + b$ ，

作为前面的负号 (x-a) 项使抛物线沿水平轴翻转。

相反，抛物线的形式是 $x = y^{2}$ 围绕垂直轴旋转，而不是水平轴。

因此, $x = 2(y+3)^{2} -5$ 不是向下开口的抛物线的方程。

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