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杨辉三角(帕斯卡三角)

杨辉的三角是一种特殊的三角形数字排列，在数学的许多领域中使用。在亚洲，它是以名人的名字命名的${13}^{\text{th}}$世纪中国数学家杨辉，最早描述其性质的人之一;在欧洲，它通常以西班牙语命名${17}^{\text{th}}$世纪法国数学家布莱兹·帕斯卡。甚至在杨回之前，阿拉伯诗人和数学家奥马尔·卡亚姆($c.1044-1123$)和印度数学家哈拉尤达(Halayudha)$975$。

$\begin{array}{cc}\begin{array}{l}1\\ 11\\ 121\\ 13.3.1\\ 14641\\ 15101051\\ 161520.1561\\ 172135352171\end{array}& \begin{array}{l}\text{行}0\\ \text{行}1\\ \text{行}2\\ \text{行}3.\\ \text{行}4\\ \text{行}5\\ \text{行}6\\ \text{行}7\end{array}\end{array}$

三角形的顶部是a$1$，这构成了$0^{\text{th}}$行。的$1^{\text{圣}}$行($1，1$)包含两个$1$S是由它们上面的两个数字相加而成的，在这个例子中，一个在左边，一个在右边$0$和$1$。(三角形外的数都是$0$年代)。用同样的方法创建$2^{\text{nd}}$行;$0+1＝1，1+1＝2，1+0＝1$以及之后的所有行。

三角形中的数字可以用${}_{n}C{}_r$（$n$选择$r$),$n$排号是多少$r$是该行元素的编号。$（{}_{n}C{}_r＝\frac{n！}{r！（n-r）！}）$这对于在a的展开式中找到一个特定的项特别有帮助二项在表格中${（x+y）}^n$。

行和:任意一行数字的和等于$2^n$,当$n$是行号。

$\begin{array}{l}{2}^0＝1＝1\\ 2^1＝2＝1+1\\ 2^2＝4＝1+2+1\\ 2^{3.}＝8＝1+3.+3.+1\\ 2^4＝16＝1+4+6+4+1\end{array}$等等。

质数:如果一行的第一个元素是a质数(记住第一个$1$每一行都是$0^{\text{th}}$元素)中的所有数字(不包括$1$S)能被它整除。

例如在$7^{\text{th}}$行$\text{(1,7,21,35,35,21,7,1) 7,21,35}$能被整除$7$。

在代数中，杨辉三角的每一行都包含二项式的系数$（x+y）$提高到排的力量。

$\begin{array}{l}{（x+y）}^0＝1\\ {（x+y）}^1＝1x+1y\\ {（x+y）}^2＝1x^2+2xy+1y^2\\ {（x+y）}^{3.}＝1x^{3.}+3.x^{2}y+3.x{y}^2+1y^{3.}\\ {（x+y）}^4＝1x^4+4x^{3.}y+6x^2{y}^2+4x{y}^{3.}+1y^4\end{array}$等等。

杨辉三角的另一个主要应用领域是概率，它可以用来寻找组合。

有趣的数字模式:

在三角形中可以找到许多有趣的数字模式。包括斐波那契序列三角形和平方数(在对角线中以行开始)$3.$)和多边形数。

另一个有趣的联系是谢尔宾斯基的三角理论。将杨辉三角形中的奇数全部填满，将偶数留空，则显示递归的Sierpinski三角形分形。

这些都是令人着迷的话题，值得你进一步研究。