使用概率做出公平的决定

示例1:

有$6$排球运动员。球队必须随机选择其中一人作为队长。

塔莎的计划:给每个玩家分配一个数字。然后滚动一个数字立方体。队长就是那个被淘汰的球员。

马丁的计划:给每个玩家分配一个数字。然后翻转$3.$硬币。请根据下图选择一个球员。

$\begin{array}{l}\text{hhh}-1\\ \text{遗传性出血性毛细血管扩张症}-2\\ \text{HTH}-3.\\ \text{计画}-4\\ \text{THH}-5\\ \text{THT基金会}-6\\ \text{t}-1\\ \text{到达目标时间}-2\end{array}$

在选择船长时，检查两种方案是否都被认为是公平的。

先检查一下塔莎的计划是否公平。

数字立方的样本空间是$｛1，2，3.，4，5，6｝$每一个都是等可能的结果。

每个球员被选为队长的概率是相等的$\frac{1}{6}$．

接下来检查一下马丁的计划是否公平。

翻转的样本空间$3.$硬币是$\text{{hhh, hht, hth, htt, thh, tht, th, ttt}}$还有$8$结果，都是等可能的。

球员们$1$和$2$有概率的$\frac{2}{8}$被选为队长，而其他队员的概率是$\frac{1}{8}$．在这里，每个人被选为队长的机会并不相同。

因此，马丁的计划在选拔队长时就不能被认为是“公平”的。

示例2:

在学校的集市上，你会得到一些代币。在集市的一个摊位上，有一个旋转木马$8$部门。如果转盘落在红色区域，你就赢了$3.$令牌。如果你降落在绿色区域，你就赢了$5$令牌。如果你降落在其他区域，你就输了$2$令牌。

这个游戏公平吗?

微调控制项的$8$每个部门的概率都是相等的。

样本空间为{红扇区，绿扇区，$6$其他部门}

写出旋转器单次旋转的概率分布和你赢得的代币数量。

$\begin{array}{|cccc|}\hline x＝\text{颜色}& \text{红色的}& \text{绿色}& \begin{array}{l}\text{其他人}\\ （\text{蓝色的}\text{和}\text{黄色的}）\end{array}\\ P（x）& \frac{1}{8}& \frac{1}{8}& \frac{6}{8}\\ \text{令牌}& 3.& 5& -2\\ \hline\end{array}$

使用加权平均公式。

$\begin{array}{l}E（x）＝3.\cdot \frac{1}{8}+5\cdot \frac{1}{8}+（-2）\cdot \frac{6}{8}\\ ＝\frac{3.}{8}+\frac{5}{8}-\frac{12}{8}\\ ＝-\frac{4}{8}\text{或}-\mathrm{０．５}\end{array}$

期望值不为零，游戏不公平。所以你将失去大约$\mathrm{０．５}$单次旋转的代币。