利用概率做出公平决策

示例1:

有$6$排球比赛中的运动员。该队必须从他们中随机选择一人担任一场比赛的队长。

塔莎的计划:给每个球员分配一个号码。然后掷一个数字立方体。队长是号码出现的球员。

马丁的计划:给每个球员分配一个号码。然后翻转$3.$硬币。请根据下图选择玩家。

$\begin{array}{l}\text{hhh}-1\\ \text{遗传性出血性毛细血管扩张症}-2\\ \text{HTH}-3.\\ \text{计画}-4\\ \text{THH}-5\\ \text{THT基金会}-6\\ \text{t}-1\\ \text{到达目标时间}-2\end{array}$

检查两种方案在选择船长时是否公平。

首先检查一下塔莎的计划是否公平。

数字立方体的样本空间为$\{1，2，3.，4，5，6｝$每一个都是同样可能的结果。

每个球员被选为队长的机会相等，概率为$\frac{1}{6}$．

接下来检查一下马丁的公平计划。

翻转的样本空间$3.$硬币是$\text{{hhh, hth, hth, htt, thth, thth, thth, ttt}}$这里有$8$结果，同样可能。

球员们$1$和$2$有…的概率$\frac{2}{8}$被选为队长，而其他队员的概率是$\frac{1}{8}$．在这里，并不是每个人都有同样的机会被选为队长。

因此，马丁的计划在队长的选择上不能被认为是“公平的”。

示例2:

在学校的博览会上，你会得到一些代币。在集市上的一个摊位上，有一个纺纱机$8$部门。如果旋转者落在红色区域，你就赢了$3.$令牌。如果你降落在绿色区域，你就赢了$5$令牌。如果你降落在其他扇区，你就输了$2$令牌。

这个游戏公平吗?

旋转器有$8$部门和每个部门的可能性都是一样的。

样本空间为{红色区域，绿色区域，$6$其他部门}

写出单次旋转的概率分布和你赢得的令牌数量。

$\begin{array}{|cccc|}\hline x＝\text{颜色}& \text{红色的}& \text{绿色}& \begin{array}{l}\text{其他人}\\ （\text{蓝色的}\text{和}\text{黄色的}）\end{array}\\ P（x）& \frac{1}{8}& \frac{1}{8}& \frac{6}{8}\\ \text{令牌}& 3.& 5& -2\\ \hline\end{array}$

使用加权平均公式。

$\begin{array}{l}E（x）＝3.\cdot \frac{1}{8}+5\cdot \frac{1}{8}+（-2）\cdot \frac{6}{8}\\ ＝\frac{3.}{8}+\frac{5}{8}-\frac{12}{8}\\ ＝-\frac{4}{8}\text{或}-0.5\end{array}$

期望值不为零，游戏就不公平。所以你会损失大约$0.5$单个旋转的令牌。