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求解线性方程组

一个系统的线性方程就是两个或多个线性方程的集合。

在两个变量中 （ x 和 y ） ，两个方程的方程组的图形是平面上的一对直线。

有三种可能性:

  • 这两条线在零点相交。(两条线是平行的。)
  • 这两条线正好相交于一点。(大多数情况下)。
  • 这两条线在无穷多个点相交。(这两个方程表示同一条直线。)

零解决方案:

y = − 2 x + 4 y = − 2 x − 3.

一个解决办法:

y = 0.5 x + 2 y = − 2 x − 3.

无穷多个解:

y = − 2 x − 4 y + 4 = − 2 x

求解线性方程组有几种不同的方法:

  1. 绘图法．当你只需要一个粗略的答案，或者你很确定交点在整数坐标时，这很有用。把这两条线画出来，看看它们在哪里相交!

    2. 参见上面的第二个图表。解就是这两条线的交点 （ − 2 ， 1 ） ．

  2. 代换法．首先，解一个线性方程 y 就…而言 x ．然后把这个表达式代入 y 在另一个线性方程中。你会得到一个方程 x ．解这个，就得到 x -交点坐标。然后插上电源 x 对任意一个方程求对应的 y 协调。(如果比较容易的话，你可以先解一个方程 x 就…而言 y ——同样的区别!)

    3. 示例1:

    解决系统问题 { 3. x + 2 y = 16 7 x + y = 19

      解第二个方程 y ．

      y = 19 − 7 x

      替代 19 − 7 x 为 y 在第一个方程中求解 x ．

      3. x + 2 （ 19 − 7 x ） = 16 3. x + 38 − 14 x = 16 − 11 x = − 22 x = 2

      替代 2 为 x 在 y = 19 − 7 x 然后解出 y ．

      y = 19 − 7 （ 2 ） y = 5

      解决方案是 （ 2 ， 5 ） ．

  3. 线性组合法,又名加法法,又名消除法。将一个方程的倍数加(或减)到另一个方程上(或从另一个方程中)，以这样的方式 x -terms或 y -项约掉了。然后解出 x (或 y (左边的那个)，然后代回去得到另一个坐标。

    4. 示例2:

    解决系统问题 { 4 x + 3. y = − 2 8 x − 2 y = 12

      第一个方程乘以 − 2 然后把结果加到第二个方程中。

      − 8 x − 6 y = 4 8 x − 2 y = 12 _ − 8 y = 16

      解出 y ．

      y = − 2

      代替 y 在任意一个原始方程中求解 x ．

      4 x + 3. （ − 2 ） = − 2 4 x − 6 = − 2 4 x = 4 x = 1

      解决方案是 （ 1 ， − 2 ） ．

  4. 矩阵法．这实际上就是线性组合法，通过速记符号简化了。