求解根方程

一个根式方程就是变量出现在平方根的迹象。(目前我们只担心平方根，而不是立方根或其他有趣的东西。)解根式方程的一般技巧是:把根号(以及根号下面的东西)分离到方程的一边。然后两边平方。你应该得到一个可以用常规方法解出的方程。

示例1:

解决。

$\sqrt{x + 2} ＝ 3.$

两边平方: ${（ \sqrt{x + 2} ）}^{2} ＝ {3.}^{2}$

$x + 2 ＝ 9$

解方程: $x + 2 ＝ 9$

经常检查你的解决方案:

$\begin{array}{l} \sqrt{7 + 2} \overset{？}{＝} 3. \\ \sqrt{9} \overset{？}{＝} 3. \\ 3. ＝ 3. \end{array}$

因此, $7$ 是方程的解。

示例2:

解决。

$\sqrt{12 x + 4} + 5 ＝ x$

通过减法，在一侧单独得到平方根 $5$ 两边都有。

$\sqrt{12 x + 4} ＝ x - 5$

两边平方。

${（ \sqrt{12 x + 4} ）}^{2} ＝ {（ x - 5 ）}^{2}$

$12 x + 4 ＝ x^{2} - 10 x + 25$

简化。

$x^{2} - 22 x + 21 ＝ 0$

在本例中，结果是a二次方程，可以用保理．

$（ x - 21 ）（ x - 1 ）＝ 0$

所以，在零积性质，

$x ＝ 21 或 x ＝ 1$ ．

重要提示:当我们两边平方的时候可以引入一些"无关的解决方案”。你必须检查解决方案的有效性。

替换 $x ＝ 21$ ：

$\begin{array}{l} \sqrt{12 （ 21 ） + 4} + 5 \overset{？}{＝} 21 \\ \sqrt{256} + 5 \overset{？}{＝} 21 \\ 21 ＝ 21 \end{array}$

第一个解是正确的。

替换 $x ＝ 1$ ：

$\begin{array}{l} \sqrt{12 （ 1 ） + 4} + 5 \overset{？}{＝} 1 \\ \sqrt{16} + 5 \overset{？}{＝} 1 \\ 9 \neq 1 \end{array}$

第二个解决方案不退房。因此 $x ＝ 1$ 是外解。唯一有效的解决方法是 $x ＝ 21$ ．