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解决线性二次系统

你们可能已经解决了线性方程组．但是如果一个方程组有两个方程一个是线性的，另一个是二次的呢?

我们可以用代入法来解决这类系统。

请记住,斜截式直线方程的 y ＝ 米 x + b ， a的标准形式抛物线具有垂直对称轴的是 y ＝ 一个 x 2 + b x + c ， 一个 ≠ 0 ．

为了避免和变量混淆，我们把线性方程写成 y ＝ 米 x + d 在哪里 米 为斜率 d 是 y 直线的截距。

将表达式替换为 y 从线性方程，到二次方程。也就是说,替代 米 x + d 为 y 在 y ＝ 一个 x 2 + b x + c ．

米 x + d ＝ 一个 x 2 + b x + c

现在，把新的二次方程写成标准形式。

减去 米 x + d 两边。

（ 米 x + d ） − （ 米 x + d ） ＝ （ 一个 x 2 + b x + c ） − （ 米 x + d ） 0 ＝ 一个 x 2 + （ b − 米 ） x + （ c − d ）

现在我们有一个单变量二次方程，它的解可以用二次方程．

方程的解 一个 x 2 + （ b − 米 ） x + （ c − d ） ＝ 0 将会给 x 直线和抛物线图形交点的坐标。相应的 y -坐标可以用线性方程找到。

求解方程组的另一种方法是在同一坐标平面上画出两个函数的图形，并确定它们的交点。

示例1:

求这条线的交点 y ＝ 2 x + 1 和抛物线 y ＝ x 2 − 2 ．

替代 2 x + 1 为 y 在 y ＝ x 2 − 2 ．

2 x + 1 ＝ x 2 − 2

把二次方程写成标准形式。

2 x + 1 − 2 x − 1 ＝ x 2 − 2 − 2 x − 1 0 ＝ x 2 − 2 x − 3.

用二次公式求二次方程的根。

在这里, 一个 ＝ 1 ， b ＝ − 2 ， 和 c ＝ − 3. ．

x ＝ − （ − 2 ） ± （ − 2 ） 2 − 4 （ 1 ） （ − 3. ） 2 （ 1 ） ＝ 2 ± 4 + 12 2 ＝ 2 ± 4 2 ＝ 3. ， − 1

代替 x 在线性方程中求相应的 y 值。

x ＝ 3. ⇒ y ＝ 2 （ 3. ） + 1 ＝ 7 x ＝ − 1 ⇒ y ＝ 2 （ − 1 ） + 1 ＝ − 1
因此，交点为 （ 3. ， 7 ） 和 （ − 1 ， − 1 ） ．

在坐标平面上画出抛物线和直线。


类似的方法可以用来求直线和圆的交点。

示例2:

求这条线的交点 y ＝ − 3. x 和圆 x 2 + y 2 ＝ 3. ．

替代 − 3. x 为 y 在 x 2 + y 2 ＝ 3. ．

x 2 + （ − 3. x ） 2 ＝ 3.

简化。

x 2 + 9 x 2 ＝ 3. 10 x 2 ＝ 3. x 2 ＝ 3. 10
取平方根, x ＝ ± 3. 10 ．

代替 x 在线性方程中求相应的 y 值。
x ＝ 3. 10 ⇒ y ＝ − 3. （ 3. 10 ） ＝ − 3. 3. 10 x ＝ − 3. 10 ⇒ y ＝ − 3. （ − 3. 10 ） ＝ 3. 3. 10

因此，交点为 （ 3. 10 ， − 3. 3. 10 ） 和 （ − 3. 10 ， 3. 3. 10 ） ．

在坐标平面上画出圆和直线。


．..或者一条直线和一个椭圆。

示例3:

解方程组 y ＝ − 5 和 x 2 9 + y 2 4 ＝ 1 ．

替代 − 5 为 y 在 − 5 ．

x 2 9 + （ − 5 ） 2 4 ＝ 1

简化。

x 2 9 + （ − 5 ） 2 4 ＝ 1 4 x 2 36 + 9 （ 25 ） 36 ＝ 1 4 x 2 + 225 ＝ 36 4 x 2 ＝ − 189 x 2 ＝ − 189 4

这里我们有一个负数作为一个数的平方。所以这两个方程没有实解。

在坐标平面上画出椭圆和直线。

我们可以看到这两者并不相交。