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点到圆的最短距离

圆与圆之间的距离是多少 C 与方程 x 2 + y 2 ＝ r 2 哪个是以原点和一个点为中心的 P （ x 1 ， y 1 ） ？

光线 O P → ，从原点开始 O 通过这个点 P 与圆最接近的点相交 P ．所以圆到点的距离就是点到原点的距离和圆的半径之差。

使用距离公式，点到圆的最短距离为 | （ x 1 ） 2 + （ y 1 ） 2 − r | ．

注意公式是否有效 P 在圈子里面或外部。

如果圆的圆心不在原点，而是有圆心 （ h ， k ） 和一个半径 r ，即点与点之间最短的距离 P （ x 1 ， y 1 ） 而圆圈是 | （ x 1 − h ） 2 + （ y 1 − k ） 2 − r | ．

例1：

圆与圆之间最短的距离是多少 x 2 + y 2 ＝ 9 和点 一个 （ 3. ， 4 ） ？

这个圆以原点为圆心，有一个半径 3. ．

所以，最短的距离 D 点和圆之间的距离是

D ＝ | （ 3. ） 2 + （ 4 ） 2 − 3. | ＝ | 25 − 3. | ＝ | 5 − 3. | ＝ 2

也就是说，它们之间的距离最短 2 单位。

示例2:

圆与圆之间最短的距离是多少 x 2 + y 2 ＝ 36 和点 问 （ − 2 ， 2 ） ？

这个圆以原点为圆心，有一个半径 6 ．

所以，最短的距离 D 点和圆之间的距离是

D ＝ | （ − 2 ） 2 + （ 2 ） 2 − 6 | ＝ | 8 − 6 | ＝ 6 − 2 2 ≈ 3.17

也就是说，它们之间最短的距离大约是 3.17 单位。

示例3:

圆与圆之间最短的距离是多少 （ x + 3. ） 2 + （ y − 3. ） 2 ＝ 5 2 和点 Z （ − 2 ， 0 ） ？

将给出的方程与圆方程的标准形式进行比较，

（ x − h ） 2 + （ y − k ） 2 ＝ r 2 在哪里 （ h ， k ） 是中心 r 是半径。

给定圆的圆心为 （ − 3. ， 3. ） 半径是 5 单位。

然后是最短的距离 D 点和圆之间的距离是

D ＝ | 5 − （ − 3. − （ − 2 ） ） 2 + （ 3. − 0 ） 2 | ＝ | 5 − 1 + 9 | ＝ | 5 − 10 | ≈ 1.84

也就是说，它们之间最短的距离大约是 1.84 单位。

示例4:

圆与圆之间最短的距离是多少 x 2 + y 2 − 8 x + 10 y − 8 ＝ 0 和点 P （ − 4 ， − 11 ） ？

把圆的方程写成这种形式 （ x − h ） 2 + （ y − k ） 2 ＝ r 2 在哪里 （ h ， k ） 是中心 r 是半径。

x 2 + y 2 − 8 x + 10 y − 8 ＝ 0 x 2 − 8 x + 16 + y 2 + 10 y + 25 ＝ 8 + 16 + 25 （ x − 4 ） 2 + （ y + 5 ） 2 ＝ 49 （ x − 4 ） 2 + （ y + 5 ） 2 ＝ 7 2

这个圆的圆心是 （ 4 ， − 5 ） 半径是 7 单位。

然后是最短的距离 D 点和圆之间的距离是

D ＝ | （ − 4 − 4 ） 2 + （ − 11 − （ − 5 ） ） 2 − 7 | ＝ | 64 + 36 − 7 | ＝ 100. − 7 ＝ 3.

也就是说，它们之间的距离最短 3. 单位。