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用矩阵表示线性方程组

一个线性方程组可以用一个系数矩阵、一个变量矩阵和一个常数矩阵表示成矩阵形式。

考虑到系统,

$\begin{array}{l}\hfill 2x+3.y＝8\\ \hfill 5x-y＝-2\end{array}$．

将每个方程的变量的系数排成一行，就可以形成系数矩阵。确保每个方程都写在标准形式右边是常数项。

则上述系统的系数矩阵为

$［\begin{array}{cc}\hfill 2& \hfill 3.\\ \hfill 5& \hfill -1\end{array}］$．

变量是$x$和$y$．我们可以把变量矩阵写成$［\begin{array}{c}\hfill x\\ \hfill y\end{array}］$．

等式右边是常数项，$8$和$-2$．这两个数字对应于第一个和第二个方程，因此在常数矩阵的第一行和第二行。矩阵就变成了$［\begin{array}{c}\hfill 8\\ \hfill -2\end{array}］$．

现在，这个系统可以表示为$［\begin{array}{cc}\hfill 2& \hfill 3.\\ \hfill 5& \hfill -1\end{array}］［\begin{array}{c}\hfill x\\ \hfill y\end{array}］＝［\begin{array}{c}\hfill 8\\ \hfill -2\end{array}］$．

使用矩阵乘法你可以看到矩阵表示与方程组是等价的。

$\begin{array}{l}\hfill ［\begin{array}{cc}\hfill 2& \hfill 3.\\ \hfill 5& \hfill -1\end{array}］［\begin{array}{c}\hfill x\\ \hfill y\end{array}］＝［\begin{array}{c}\hfill 2（x）+3.（y）\\ \hfill 5（x）+（-1）y\end{array}］\\ \hfill ＝［\begin{array}{c}\hfill 2x+3.y\\ \hfill 5x-y\end{array}］\end{array}$

也就是说,$［\begin{array}{c}\hfill 2x+3.y\\ \hfill 5x-y\end{array}］＝［\begin{array}{c}\hfill 8\\ \hfill -2\end{array}］$．

将这两个矩阵对应的项等价，我们得到:

$\begin{array}{l}\hfill 2x+3.y＝8\\ \hfill 5x-y＝-2\end{array}$

现在让我们理解这个表示的含义。

如果你把它看成向量的函数$［\begin{array}{c}\hfill x\\ \hfill y\end{array}］$，可以定义为

$f（［\begin{array}{c}\hfill x\\ \hfill y\end{array}］）＝［\begin{array}{cc}\hfill 2& \hfill 3.\\ \hfill 5& \hfill -1\end{array}］［\begin{array}{c}\hfill x\\ \hfill y\end{array}］$

然后，通过解方程组我们得到一个向量$［\begin{array}{c}\hfill x\\ \hfill y\end{array}］$的$f（［\begin{array}{c}\hfill x\\ \hfill y\end{array}］）＝［\begin{array}{c}\hfill 8\\ \hfill -2\end{array}］$．

这种表示可以使计算更简单，因为如果我们能找到系数矩阵的逆，即输入向量$［\begin{array}{c}\hfill x\\ \hfill y\end{array}］$可以通过两边乘以逆矩阵来计算。

类似地，对于一个由三个变量的三个方程组成的方程组，

$\begin{array}{l}\hfill {\mathrm{一个}}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z＝d_1\\ \hfill {\mathrm{一个}}_{2}x+b_{2}y+c_{2}z＝d_2\\ \hfill {\mathrm{一个}}_{3.}x+b_{3.}y+c_{3.}z＝d_{3.}\end{array}$

矩阵表示是

$［\begin{array}{ccc}\hfill {\mathrm{一个}}_1& \hfill b_1& \hfill c_1\\ \hfill {\mathrm{一个}}_2& \hfill b_2& \hfill c_2\\ \hfill {\mathrm{一个}}_{3.}& \hfill b_{3.}& \hfill c_{3.}\end{array}］［\begin{array}{c}\hfill x\\ \hfill y\\ \hfill z\end{array}］＝［\begin{array}{c}\hfill d_1\\ \hfill d_2\\ \hfill d_{3.}\end{array}］$．

我们可以将结果推广到$n$变量。