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二次函数

二次函数的一般形式是 f x 一个 x 2 + b x + c 。二次函数的图形是a抛物线,一种 2 维曲线。

“基本”抛物线, y x 2 ,看起来是这样的:

系数的函数 一个 在一般方程中是使抛物线“更宽”或“更窄”,或将其颠倒(如果为负):

如果的系数 x 2 是正的,抛物线张开;否则它会向下打开。

顶点

顶点抛物线的底部点是 U 形状(或顶部,如果抛物线向下打开)。

抛物线的方程也可以写成“顶点形式”:

y 一个 x h 2 + k

在这个方程中,抛物线的顶点是这个点 h k

你可以通过把它乘出来看到它和标准方程的关系:

y 一个 x h x h + k

y 一个 x 2 2 一个 h x + 一个 h 2 + k

的系数 x 这是 2 一个 h 。这意味着在标准形式中, y 一个 x 2 + b x + c ,表达式

b 2 一个

给出了 x -顶点的坐标。

例子:

求抛物线的顶点。

y 3. x 2 + 12 x 12

在这里, 一个 3. b 12 。所以, x 顶点的坐标为:

12 2 3. 2

代入原方程得到 y -coordinate,我们得到:

y 3. 2 2 + 12 2 12

24

抛物线的顶点在 2 24

对称轴

抛物线的对称轴是穿过顶点的垂直线。对于标准形式的抛物线, y 一个 x 2 + b x + c ,对称轴上有这个方程

x b 2 一个

请注意, b 2 一个 也是 x -抛物线顶点的坐标。

例子:

找到对称轴。

y 2 x 2 + x 1

在这里, 一个 2 b 1 。所以,对称轴是垂直线

x 1 4

拦截

你可以找到 y -抛物线的截距只需输入 0 x 。如果方程是标准形式,那么你可以取 c 随着 y 拦截。例如,在上面的例子中:

y 2 0 2 + 0 1 1

因此, y 拦截是 1

x -拦截有点棘手。你可以用保理,或完成正方形,或二次方程找到这些(如果它们存在的话!)

域和范围

和任何函数一样,二次函数的 f x 的集合是 x 为其定义函数的值,以及范围所有输出值的集合(值 f ).

二次函数通常以整条实线作为定义域:any x 是合法的输入。取值范围限于大于或等于的点 y 顶点的坐标(或小于或等于,取决于抛物线是向上打开还是向下打开)。