幂级数与收敛半径

示例1:

确定序列是否${\displaystyle \underset{n＝0}{\overset{\infty }{\sum }}{（-1）}^n}$是收敛的还是发散的

考虑前几个部分和。

${\mathrm{年代}}_0＝1$

${\mathrm{年代}}_1＝1-1＝0$

${\mathrm{年代}}_2＝1-1+1＝1$

${\mathrm{年代}}_{3.}＝1-1+1-1＝0$

即，部分和的序列为$｛1，0，1，0，1，\mathrm{．．．}｝$没有极限。这个序列是发散的。

因此,本系列${\displaystyle \underset{n＝0}{\overset{\infty }{\sum }}{（-1）}^n}$是不同的。

示例2:

求幂级数的收敛半径${\displaystyle \underset{n＝0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{（x-1）}^n}{2^n}}$．

给定的级数是一个以点为中心的幂级数$x＝1$．用比值判别法求收敛区间。

$l＝\left|\frac{（\frac{{（x-1）}^{n+1}}{2^{n+1}}）}{（\frac{{（x-1）}^n}{2^n}）}\right|$

$＝\left|\frac{{（x-1）}^{n+1}}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{{（x-1）}^n}\right|$

$＝\left|\frac{x-1}{2}\right|$

的限制,$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{x-1}{2}\right|＝\left|\frac{x-1}{2}\right|$．

这个级数收敛于$x$这样$\left|\frac{x-1}{2}\right|<1$．

$\left|\frac{x-1}{2}\right|<1\Rightarrow -1<\frac{x-1}{2}<1$

$\Rightarrow -2<x-1<2$

$\Rightarrow \left|x-1\right|<2$

因此，收敛半径为$2$收敛区间是$（-1，3.）$．