幂级数与收敛半径

你熟悉不同类型的系列，如<一个href="//www.boatm8.com/hotmath/hotmath_help/topics/arithmetic-series">算术级数，<一个href="//www.boatm8.com/hotmath/hotmath_help/topics/geometric-series">几何级数等。

就其字面意义而言，如果级数接近某一特定值，则称其收敛。

更正式地说，一个级数是收敛的，如果它的部分和的序列接近极限为 $n$ 趋于无穷。

类似地，如果部分和数列没有极限，或者有一个极限等于正无穷或负无穷，那么这个数列是发散的。

示例1:

确定系列是否 $\sum_{n ＝ 0}^{\infty} {（ - 1 ）}^{n}$ 收敛还是发散。

考虑前几个部分和。

${年代}_{0} ＝ 1$

${年代}_{1} ＝ 1 - 1 ＝ 0$

${年代}_{2} ＝ 1 - 1 + 1 ＝ 1$

${年代}_{3.} ＝ 1 - 1 + 1 - 1 ＝ 0$

也就是说，部分和的序列是 ${1 ， 0 ， 1 ， 0 ， 1 ， …}$ 它没有极限。所以这个序列是发散的。

因此，级数 $\sum_{n ＝ 0}^{\infty} {（ - 1 ）}^{n}$ 是不同的。

一个<年代trong>幂级数是系列的形式吗 $\sum_{n ＝ 0}^{\infty} c_{n} {（ x - 一个）}^{n}$ 在哪里 $一个$ 和 $c_{n}$ 是数字。的 $c_{n}$ 通常称为级数的系数。

例如，级数 $1 + 2 x^{2} + 3. x^{3.} + 4 x^{4} + ．...$ 是一个以0为中心的幂级数。

幂级数是 $x$ 因此它是收敛还是发散也取决于的值 $x$ ．的某些值，级数可能收敛 $x$ 对于其他值可能会发散。

可以保证一个幂级数 $一个$ 是收敛的 $x ＝一个$ ．你可以看到上面的幂级数， $1 + 2 x^{2} + 3. x^{3.} + 4 x^{4} + ．...$ 收敛于 $1$ 为 $x ＝ 0$ ．

收敛半径是级数收敛的一个大圆盘的半径。

幂级数收敛的最大区间称为收敛区间这个区间以幂级数的中心为中心。注意这个区间的一半等于收敛半径。它可以是一个非负实数，甚至是无穷大。

如果 $r$ 幂级数的收敛半径是否以 $一个$ ，则对的值收敛 $x$ 这样 $| x - 一个 | < r$ 并发散于 $| x - 一个 | > r$ ．

也就是说，级数在区间内收敛 $一个 - r < x < 一个 + r$ 并发散于 $x < 一个 - r$ 和 $x > 一个 + r$ ．

我们可以用比值判别法或根判别法来求幂级数的收敛半径。

利用比值检验，得到一个级数 $\sum_{n ＝ 0}^{\infty} c_{n} {（ x - 一个）}^{n}$ 是收敛的 $x$ 这样 $\lim_{n \to \infty} | \frac{C_{n + 1} {（ x - 一个）}^{n + 1}}{C_{n} {（ x - 一个）}^{n}} | < 1$ ．