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帕斯卡(朱世杰)三角形

帕斯卡三角形是一种特殊的三角形数字排列，在数学的许多领域中使用。它是以一位名人的名字命名的$17$^th因为他提出了三角形的许多性质。然而，阿拉伯诗人和数学家奥马尔·卡亚姆(c$1044$-$1123$)和中国数学家朱世杰(c$1260$-$1320$)一些$250$比帕斯卡早几年。

$\begin{array}{cccccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & & & \text{行0}\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & & \text{第1行}\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & & \text{第二行}\\ & & & & 1& & 3.& & 3.& & 1& & & & & \text{第三行}\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & & \text{行4}\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & & \text{行5}\\ & 1& & 6& & 15& & 20.& & 15& & 6& & 1& & \text{行6}\\ 1& & 7& & 21& & 35& & 35& & 21& & 7& & 1& \text{行}7\end{array}$

三角形的顶部是a$1$，这构成了$0$^th行。的$1$^圣行$（1，1）$包含两个$1$S是由它们上面的两个数字相加而成的，在这个例子中，一个在左边，一个在右边$0$和$1$。(三角形外的数都是$0$年代)。用同样的方法创建$2$^nd行;$0+1=1，1+1=2，1+0=1$以及之后的所有行。

三角形中的数字可以用${}_{n}C{}_r$（$n$选择$r$),$n$排号是多少$r$是该行元素的编号。$（{}_{n}C{}_r=\frac{n！}{r！（n-r）！}）$这对于在a的展开式中找到一个特定的项特别有帮助二项在表格中${（x+y）}^n$。

行和:任意一行数字的和等于$2^n$,当$n$是行号。

$\begin{array}{l}{2}^0=1=1\\ 2^1=2=1+1\\ 2^2=4=1+2+1\\ 2^{3.}=8=1+3.+3.+1\\ 2^4=16=1+4+6+4+1\end{array}$

等等。

质数:如果一行的第一个元素是a质数(记住，任何一行的第一个1都是$0$^th元素)中的所有数字(不包括$1$S)能被它整除。

例如在$7$^th行($1，7，21，35，35，21，7，1$）$7，21，35$能被整除$7$。

在代数中，帕斯卡三角形的每一行都包含二项式的系数$（x+y）$提高到排的力量。

$\begin{array}{l}{（x+y）}^0=1\\ {（x+y）}^1=1x+1y\\ {（x+y）}^2=1x^2+2xy+1y^2\\ {（x+y）}^{3.}=1x^{3.}+3.x^{2}y+3.x{y}^2+1y^{3.}\\ {（x+y）}^4=1x^4+4x^{3.}y+6x^2{y}^2+4x{y}^{3.}+1y^4\end{array}$

等等。

帕斯卡三角的另一个主要应用领域是在概率中它可以用来找到组合。

有趣的数字模式:

在三角形中可以找到许多有趣的数字模式。包括斐波那契序列三角形和平方数(在对角线中以行开始)$3.$)和多边形数。

另一个有趣的联系是谢尔宾斯基的三角理论。当帕斯卡尔三角形中的奇数全部被填满，偶数部分留空时，递归的谢尔平斯基三角形分形就显现出来了。

这些都是令人着迷的话题，值得你进一步研究。