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以给定的比率进行分割

假设有一条线段$\overline{P问}$在坐标平面上，你需要找到线段上的点$\frac{1}{3.}$从...开始$P$来$问$．

让我们首先在哪里占据$P$处于原点，线段是水平的。

这条线的长度是$6$单位和线段上的点$\frac{1}{3.}$从...开始$P$来$问$将$2$单位远离$P$，$4$单位远离$问$将会在$（2，0）$．

考虑线段不是水平线或垂直线的情况。

的组件有向线段的$\overline{P问}$是$〈6，3.〉$我们需要找到这个点$X$上段$\frac{1}{3.}$从...开始$P$来$问$．

然后是部分的组成部分$\overline{PX}$是$〈（\frac{1}{3.}）（6），（\frac{1}{3.}）（3.）〉＝〈2，1〉$．

由于该段的初始点处于原点，因此该点的坐标$X$是由$（0+2，0+1）＝（2，1）$．

现在我们做一个更棘手的问题$P$也不$问$在原点。

使用线段的端点$\overline{P问}$编写定向段的组件。

$\begin{array}{l}〈（x_2-x_1），（y_2-y_1）〉＝〈（7-1），（2-6）〉\\ ＝〈6，-4〉\end{array}$

同样的，线段的分量$\overline{PX}$在哪里$X$线段上有一个点吗$\frac{1}{3.}$从...开始$P$来$问$是$〈（\frac{1}{3.}）（6），（\frac{1}{3.}）（-4）〉＝〈2，-\mathrm{1．25}〉$．

求点的坐标$X$添加段的组件$\overline{PX}$到初始点的坐标$P$．

点的坐标$X$是$（1+2，6-\mathrm{1．25}）＝（3.，4.75）$．

注意，得到的片段，$\overline{PX}$和$\overline{X问}$，长度的比例为$1:2$．

一般：如果您需要在线段中找到一个点将其分成两个长度的段，那么怎么样？$\mathrm{一个}:b$？

考虑有向线段$\overline{XY}$端点的坐标为$X（x_1，y_1）$和$Y（x_2，y_2）$．

假设点$Z$将该段分成比例$\mathrm{一个}:b$，那么问题是$\frac{\mathrm{一个}}{\mathrm{一个}+b}$从...开始$X$来$Y$．

把我们的方法推广一下，线段的分量$\overline{XZ}$是$〈（\frac{\mathrm{一个}}{\mathrm{一个}+b}（x_2-x_1）），（\frac{\mathrm{一个}}{\mathrm{一个}+b}（y_2-y_1））〉$．

然后,$X$点的坐标$Z$是

$\begin{array}{l}{x}_1+\frac{\mathrm{一个}}{\mathrm{一个}+b}（x_2-x_1）＝\frac{x_1（\mathrm{一个}+b）+\mathrm{一个}（x_2-x_1）}{\mathrm{一个}+b}\\ ＝\frac{b{x}_1+\mathrm{一个}{x}_2}{\mathrm{一个}+b}\end{array}$．

类似地,$Y$协调是

$\begin{array}{l}{y}_1+\frac{\mathrm{一个}}{\mathrm{一个}+b}（y_2-y_1）＝\frac{y_1（\mathrm{一个}+b）+\mathrm{一个}（y_2-y_1）}{\mathrm{一个}+b}\\ ＝\frac{b{y}_1+\mathrm{一个}{y}_2}{\mathrm{一个}+b}\end{array}$．

因此，点的坐标$Z$是$（\frac{b{x}_1+\mathrm{一个}{x}_2}{\mathrm{一个}+b}，\frac{b{y}_1+\mathrm{一个}{y}_2}{\mathrm{一个}+b}）$．

你可以注意到中点公式这个公式的特殊情况是什么时候$\mathrm{一个}＝b＝1$．