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按给定比例划分段

假设有一条线段$\overline{P问}$在坐标平面上，你需要找到线段上的点$\frac{1}{3.}$从$P$来$问$．

我们先来看一个简单的例子$P$在原点，线段是水平的。

这条线的长度是$6$单位和线段上的点$\frac{1}{3.}$从$P$来$问$将$2$单位距离$P$，$4$单位距离$问$并且会在$（2，0）$．

考虑线段不是水平线或垂直线的情况。

的组件有向线段的$\overline{P问}$是$〈6，3.〉$我们需要找到这个点$X$关于分段$\frac{1}{3.}$从$P$来$问$．

然后是线段的分量$\overline{PX}$是$〈（\frac{1}{3.}）（6），（\frac{1}{3.}）（3.）〉=〈2，1〉$．

由于线段的初始点在原点，该点的坐标$X$是由$（0+2，0+1）=（2，1）$．

现在我们来做一个更棘手的问题，两者都不是$P$也不$问$在原点处。

使用线段的端点$\overline{P问}$写出有向线段的分量。

$\begin{array}{l}〈（x_2-x_1），（y_2-y_1）〉=〈（7-1），（2-6）〉\\ =〈6，-4〉\end{array}$

同样地，线段的分量$\overline{PX}$在哪里$X$一个点在线段上吗$\frac{1}{3.}$从$P$来$问$是$〈（\frac{1}{3.}）（6），（\frac{1}{3.}）（-4）〉=〈2，-1.25〉$．

求出点的坐标$X$添加该段的组件$\overline{PX}$到初始点的坐标$P$．

所以，这个点的坐标$X$是$（1+2，6-1.25）=（3.，4.75）$．

注意，得到的片段，$\overline{PX}$和$\overline{X问}$，长度的比例为$1：2$．

一般来说:如果你需要在线段上找到一个点，把它分成两个长度成比例的线段，该怎么办$\mathrm{一个}：b$？

考虑有向线段$\overline{XY}$端点的坐标为$X（x_1，y_1）$和$Y（x_2，y_2）$．

假设这个点$Z$按比例分割段$\mathrm{一个}：b$，那么关键是$\frac{\mathrm{一个}}{\mathrm{一个}+b}$从$X$来$Y$．

推广一下我们的方法，线段的分量$\overline{XZ}$是$〈（\frac{\mathrm{一个}}{\mathrm{一个}+b}（x_2-x_1）），（\frac{\mathrm{一个}}{\mathrm{一个}+b}（y_2-y_1））〉$．

然后,$X$-点的坐标$Z$是

$\begin{array}{l}{x}_1+\frac{\mathrm{一个}}{\mathrm{一个}+b}（x_2-x_1）=\frac{x_1（\mathrm{一个}+b）+\mathrm{一个}（x_2-x_1）}{\mathrm{一个}+b}\\ =\frac{b{x}_1+\mathrm{一个}{x}_2}{\mathrm{一个}+b}\end{array}$．

类似地,$Y$协调是

$\begin{array}{l}{y}_1+\frac{\mathrm{一个}}{\mathrm{一个}+b}（y_2-y_1）=\frac{y_1（\mathrm{一个}+b）+\mathrm{一个}（y_2-y_1）}{\mathrm{一个}+b}\\ =\frac{b{y}_1+\mathrm{一个}{y}_2}{\mathrm{一个}+b}\end{array}$．

因此，点的坐标$Z$是$（\frac{b{x}_1+\mathrm{一个}{x}_2}{\mathrm{一个}+b}，\frac{b{y}_1+\mathrm{一个}{y}_2}{\mathrm{一个}+b}）$．

你可以注意到中点公式这个公式的特例是什么时候$\mathrm{一个}=b=1$．