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数字系统：自然，整数，理性，非理性，实际和超越

的自然数

这有天赋的人（要么计数）数字是$1那2那3.那4.那5.那$等等。有无数的自然数。这放自然数量，$\left\{1那2那3.那4.那5.那\mathrm{......}\right\}$，有时是写的 $N$为短。

这整数是自然数量的$0.$．

（注意：一些教科书不同意并说出自然数量包括$0.$)。

任何两个自然数的和也是一个自然数(例如，$4.+\mathrm{2000年}=\mathrm{2004年}$)，任意两个自然数的乘积为自然数($4.\times \mathrm{2000年}=8000.$）.但对于减法和除法却不是这样。

整数

这整数是由自然数、其相加的倒数和零组成的实数集合。

$\left\{\mathrm{......}那-5.那-4.那-3.那-2那-1那0.那1那2那3.那4.那5.那\mathrm{......}\right\}$

有时写入整数集 $j$或 $\mathrm{Z.}$为短。

任何两个整数的总和，产品和差异也是整数。但这不是师的真实......只是尝试$1÷2$．

有理数

这有理数是那些可以表示为的数字比率两个整数之间。例如，分数$\frac{1}{3.}$和$-\frac{1111.}{8.}$是合理的数字。所有整数都包含在Rational Numbers中，因为任何整数$\mathrm{Z.}$可以写成比例吗$\frac{\mathrm{Z.}}{1}$．

所有小数终止是合理的数字（自从$8.27$可以写成$\frac{827.}{\mathrm{One\; hundred.}}$)。小数有a重复某些点之后的模式也是理性的:例如，

$\mathrm{0.0833333\; ....}=\frac{1}{12.}$．

这组有理数在所有四种基本运算下都是封闭的，也就是说，给定任意两个有理数，它们的和、差、积和商也是一个有理数(只要我们不除)$0.$）.

的无理数

一个无理数是一个不能写成比率(或分数)的数。在小数形式中，它永远不会结束或重复。古希腊人发现并非所有的数字都是有理数;有些方程不能用整数比来解。

要研究的第一个这样的方程是$2=X^2$．一系列自身的数量等于$2$？

$\sqrt{2}$是关于$1.414$， 因为${1.414}^2=\mathrm{1.999396.}$，靠近$2$．但是，你永远不会通过平方（或终止十进制）来完全敲击。平方根$2$是一个不合理的数字，这意味着它的十进制等同物永远持续，没有重复模式：

$\sqrt{2}=\mathrm{1.41421356237309\; ......}$

其他著名的无理数是金比，这个数字对生物学非常重要:

$\frac{1+\sqrt{5.}}{2}=\mathrm{1.61803398874989\; ......}$

$\pi$（PI），圆圈的圆周与其直径的比率：

$\pi =\mathrm{3.14159265358979\; ......}$

和 $\mathrm{E.}$， 这微积分中最重要的数字：

$\mathrm{E.}=\mathrm{2.71828182845904\dots \dots }$

无理数可以进一步细分为代数数字，是一些多项式方程的解(比如$\sqrt{2}$黄金分割)，以及超明数字，它们不是任何多项式方程的解。$\pi$和$\mathrm{E.}$都是超然的。

实数

实数是包含所有有理数和所有无理数的一组数。实数是数轴上的“所有数”。有无穷多的实数，就像在其他数集中也有无穷多的数一样。但是，它可以证明实数的无穷是a更大的无穷。

“小”,或可数整数和理性的无限远${\aleph }_{0.}$（alef-naught），和不可数叫做真实的无限${\aleph }_1$（Alef-One）。

还有更“大”的无穷大，但你应该去上集合理论课!

复杂的数字

复数是集合{$\mathrm{一种}+\mathrm{B.}\mathrm{一世}$|$\mathrm{一种}$和$\mathrm{B.}$是真正的数字}，哪里$\mathrm{一世}$是虚构的单位，$\sqrt{-1}$．(点击在这里想了解更多关于虚数和复数运算）.

复数包括实数的集合。在复杂系统中，实数用这种形式表示$\mathrm{一种}+0.\mathrm{一世}=\mathrm{一种}$．一个实数。

这个集合有时写成 $C$为短。复数的集合很重要，因为对于任何多项式 $\mathrm{P.}（X）$对于实数系数，所有的解$\mathrm{P.}（X）=0.$将在 $C$．

超过...

数学家使用的“更大”的数量套装。这四十二烷，由William H. Hamilton发现$\mathrm{1845年}$，用三个不同的虚单位组成一个数字系统!