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数字系统:自然数，整数，有理数，无理数，实数，和超越

自然数

的自然(或计数）数字是$1，2，3.，4，5，$等。自然数有无穷多个。的集对于自然数，$\left\{1，2，3.，4，5，\mathrm{\dots }\right\}$，有时是这样写的 $N$为短。

的整数自然数是一起的吗$0$。

(注:一些教科书不同意这种说法，认为自然数包括$0$)。

任意两个自然数的和也是一个自然数(例如:$4+2000＝2004$)，任意两个自然数之积为自然数($4\times 2000＝8000$)。但是，对于减法和除法，这不是正确的。

的整数

的整数是实数的集合，由自然数、它们的可加性逆和零组成。

$\left\{\mathrm{\dots }，-5，-4，-3.，-2，-1，0，1，2，3.，4，5，\mathrm{\dots }\right\}$

整数集有时写成 $J$或 $Z$为短。

任意两个整数的和、积和差都是整数。但除法不是这样……试试$1÷2$。

有理数

的有理数这些数字可以用a表示吗比在两个整数之间。比如分数$\frac{1}{3.}$和$-\frac{1111}{8}$都是有理数。所有的整数都包含在有理数中，因为任何整数$z$可以写成比率吗$\frac{z}{1}$。

所有的小数终止有理数是什么$8.27$可以写成$\frac{827}{\mathrm{One\; hundred.}}$)。有a的小数重复某个点之后的模式也是理性的:例如，

$\mathrm{0.0833333\dots \dots }＝\frac{1}{12}$。

有理数的集合在所有四种基本运算下都是封闭的，即给定任意两个有理数，它们的和、差、积、商都是有理数(只要不除)$0$)。

无理数

一个无理数不能写成比率(或分数)的数字。在十进制形式中，它永远不会结束或重复。古希腊人发现并不是所有的数都是有理数;有些方程不能用整数的比率来解。

第一个这样的方程是$2＝x^2$。什么数乘以它本身等于$2$？

$\sqrt{2}$是关于$1.414$,因为${1.414}^2＝1.999396$，接近于$2$。但你永远不会通过分数的平方(或终止小数)精确地命中。根号下$2$是一个无理数，这意味着它的十进制值是无限的，没有重复的模式:

$\sqrt{2}＝\mathrm{1.41421356237309\dots \dots }$

其他著名的无理数还有黄金比例这是一个对生物学非常重要的数字;

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}＝\mathrm{1.61803398874989\dots \dots }$

$\pi$(π)圆的周长与直径之比;

$\pi ＝\mathrm{3.14159265358979\dots \dots }$

和 $e$,微积分中最重要的数：

$e＝\mathrm{2.71828182845904\dots \dots }$

无理数可以进一步细分为代数数字，它是一些多项式方程的解(比如$\sqrt{2}$黄金分割)，以及先验的数字，它们不是任何多项式方程的解。$\pi$和$e$都是先验的。

真实的数字

实数是包含所有有理数和所有无理数的数的集合。实数是数轴上的“所有数字”。实数有无穷多个就像其他的数集合中有无穷多个一样。但是，可以证明实数的无穷是a更大的无穷。

“小的”，或者可数名词整数和有理数有时被称为无穷大${\aleph }_0$(左-零)和不可数的实数的无穷${\aleph }_1$(alef-one)。

甚至还有“更大”的无穷，但你应该去上集合论的课!

复数

复数是集合{$\mathrm{一个}+b我$|$\mathrm{一个}$和$b$实数在哪里$我$是虚单位，$\sqrt{-1}$。(点击在这里欲了解更多虚数和复数运算)。

复数包括实数的集合。在复数系统中，实数是这样写的$\mathrm{一个}+0我＝\mathrm{一个}$。一个实数。

这个集合有时写成 $C$为短。复数的集合很重要，因为对于任何多项式 $p（x）$有实数系数的，所有的解$p（x）＝0$将会在 $C$。

超出……

数学家们甚至使用了“更大”的数字集。的四元数，由威廉·h·汉密尔顿于1986年发现$1845$，用三个不同的虚单位组成一个数字系统!