找到$n^{\text{th}}$几何序列的项

示例1:

找到$6^{\text{th}}$几何数列中的项$3.，12，48，\mathrm{\dots }$．

$\begin{array}{l}{\mathrm{一个}}_1＝3.，r＝\frac{12}{3.}＝4\\ {\mathrm{一个}}_6＝3.\cdot 4^{6-1}＝3.\cdot 4^5＝3072\end{array}$

示例2:

找到$7^{\text{th}}$表示几何序列的术语，其中${\mathrm{一个}}_2＝24$和${\mathrm{一个}}_5＝3.$．

替代$24$为${\mathrm{一个}}_2$和$3.$为${\mathrm{一个}}_5$在公式中

${\mathrm{一个}}_n＝{\mathrm{一个}}_1\cdot r^{n-1}$．

$\begin{array}{l}{\mathrm{一个}}_2＝{\mathrm{一个}}_1\cdot r^{2-1}\to 24＝{\mathrm{一个}}_{1}r\\ {\mathrm{一个}}_5＝{\mathrm{一个}}_1\cdot r^{5-1}\to 3.＝{\mathrm{一个}}_1{r}^4\end{array}$

解第一个方程${\mathrm{一个}}_1$：${\mathrm{一个}}_1＝\frac{24}{r}$

将这个表达式替换为${\mathrm{一个}}_1$在第二个方程中求解$r$．

$\begin{array}{l}3.＝\frac{24}{r}\cdot r^4\\ 3.＝24r^{3.}\\ \frac{1}{8}＝r^{3.}\text{所以}r＝\frac{1}{2}\end{array}$

代替$r$在第一个方程中求解${\mathrm{一个}}_1$．

$\begin{array}{l}24＝{\mathrm{一个}}_1（\frac{1}{2}）\\ 48＝{\mathrm{一个}}_1\end{array}$

现在用公式来求${\mathrm{一个}}_7$．

${\mathrm{一个}}_7＝48{（\frac{1}{2}）}^{7-1}＝48\cdot \frac{1}{64}＝\frac{3.}{4}$