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一个双曲线是所有点的集 P 在平面上,使得距离之间的差 P 对于两个不动点是一个给定的常数。每个不动点都是a焦点.(复数是焦点。)如果 P 是双曲线和焦点的一个点 F 1 F 2 然后 P F 1 ¯ P F 2 ¯ 焦点半径.你可以看到,双曲线的图像有两个不相连的分支,看起来像抛物线。每个分支都接近对角渐近线

中心双曲线的中心点是连接其焦点的线段的中点。的横轴是包含双曲线的中心,其端点为双曲线的两个顶点的线段。

一个中央双曲线,一个含有它的起源中心及其焦点 x 设在或 y -axis有1的下面两个公式。请注意, 一个 2 是正数项的分母。

圆心为的双曲线 0 0 ,焦点 c 0 c 0 和顶点之间的距离 2 一个 有等式

x 2 一个 2 y 2 b 2 1 在哪里 b 2 c 2 一个 2

渐近的等式是 y b 一个 x y b 一个 x

请注意,双曲线将有 x ——或者 y 拦截但从来没有。

圆心为的双曲线 0 0 ,焦点 0 c 0 c ,那么方程是 y 2 一个 2 x 2 b 2 1 b 2 c 2 一个 2

渐近的等式是 y 一个 b x y 一个 b x

例1:

求有焦点的双曲线的方程 3. 0 3. 0 顶点之间的距离等于 4 如果它的中心处于原点。

每个焦点到中心的距离是 3. ,所以 c 3.

顶点之间的距离是 2 一个 .所以, 2 一个 4 一个 2

b 2 c 2 一个 2 ,所以 b 2 3. 2 2 2 9 4 5

由于焦点是在的 x -轴,方程是 x 2 4 y 2 5 1

例2:

对于上面的示例,找到其渐近的等式和图形的双曲线。

渐近的等式是 y 5 2 x y 5 2 x

x -Intercepts 2 0 2 0 .没有 y -Intercepts。

可以翻译双曲线的图形,以便其中心处于此处 h k .这意味着图表已被翻译 h 横轴和上的单位 k 单位在纵轴上。

水平长轴垂直长轴

x h 2 一个 2 y k 2 b 2 1 y k 2 一个 2 x h 2 b 2 1

焦点在 h c k h + c k 焦点在 h k c h k + c

例3:

求有焦点的双曲线方程 3. 2 3. 8 以及顶点之间的距离 8

顶点之间的距离, 2 一个 , 是 8 .所以, 2 一个 8 一个 4

该中心位于焦点之间的中途 3. 3.

从中心到每个焦点的距离是 5 所以 c 5

b 2 c 2 一个 2 5 2 4 2 25 16 9

因此,双曲线方程为 y 3. 2 16 x + 3. 2 9 1

双曲线也可以定义为由双锥与平面相交而得到的圆锥截面,该平面与圆锥的两部分相交而不与轴相交。