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一个双曲线是所有点的集合吗 P 在平面上使得距离之差 P 是一个给定的常数。每个不动点都是a焦点.(复数形式是foci。)如果 P 双曲线上的一个点和焦点在一起吗 F 1 F 2 然后 P F 1 ¯ P F 2 ¯ 焦半径.正如你所看到的,双曲线的图形有两个不相连的分支,看起来像抛物线。每个分支都接近对角线渐近线

中心双曲线的中点是连接其焦点的线段的中点。的水平轴是包含双曲线中心的线段,其端点是双曲线的两个顶点。

中心双曲线,圆心在原点,焦点在 x 设在或 y -轴是下面两个公式的1次方。请注意, 一个 2 是每种情况下正数项的分母。

圆心为的双曲线 0 0 ,焦点 c 0 c 0 顶点之间的距离 2 一个 有方程吗?

x 2 一个 2 y 2 b 2 1 在哪里 b 2 c 2 一个 2

渐近线的方程是 y b 一个 x y b 一个 x

注意,双曲线都有 x ——或者 y 拦截但从来没有两者都有。

圆心为的双曲线 0 0 ,焦点 0 c 0 c ,则方程为 y 2 一个 2 x 2 b 2 1 b 2 c 2 一个 2

渐近线的方程是 y 一个 b x y 一个 b x

示例1:

求有焦点的双曲线的方程 3. 0 3. 0 顶点之间的距离等于 4 如果它的中心在原点。

每个焦点到中心的距离为 3. ,所以 c 3.

顶点之间的距离是 2 一个 .所以, 2 一个 4 一个 2

b 2 c 2 一个 2 ,所以 b 2 3. 2 2 2 9 4 5

因为焦点在 x -轴,方程为 x 2 4 y 2 5 1

示例2:

对于上面的例子,求出它的渐近线方程并画出双曲线。

渐近线的方程是 y 5 2 x y 5 2 x

x 拦截是 2 0 2 0 .没有 y 拦截。

双曲线的图形可以平移,使其圆心在该点上 h k .这意味着图形已被翻译 h 横轴上的单位和 k 纵轴上的单位。

水平长轴垂直长轴

x h 2 一个 2 y k 2 b 2 1 y k 2 一个 2 x h 2 b 2 1

焦点在 h c k h + c k 焦点在 h k c h k + c

示例3:

求有焦点的双曲线的方程 3. 2 3. 8 以及顶点之间的距离 8

顶点之间的距离, 2 一个 ,是 8 .所以, 2 一个 8 一个 4

中心在焦点的中间 3. 3.

中心到每个焦点的距离为 5 所以 c 5

b 2 c 2 一个 2 5 2 4 2 25 16 9

因此,双曲线方程为 y 3. 2 16 x + 3. 2 9 1

双曲线也可以定义为由双锥与平面相交而得到的圆锥截面,该平面与圆锥的两个部分相交而不与轴相交。