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矩阵乘法

只能乘以2矩阵如果他们的维是兼容的，这意味着第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同。

如果$\mathrm{一个}=［{\mathrm{一个}}_{我j}］$是一个$米\times n$矩阵和$B=［b_{我j}］$是一个$n\times p$矩阵，乘积$\mathrm{一个}B$是一个$米\times p$矩阵。

$\mathrm{一个}B=［c_{我j}］$,在那里$c_{我j}={\mathrm{一个}}_{我1}{b}_{1j}+{\mathrm{一个}}_{我2}{b}_{2j}+\mathrm{\dots }+{\mathrm{一个}}_{我n}{b}_{nj}$。

(在${我}^{\text{th}}$行和$j^{\text{th}}$列用双下标符号表示${\mathrm{一个}}_{我j}$，$b_{我j}$,$c_{我j}$。例如，条目${\mathrm{一个}}_{23}$是第二行第三列的条目。)

矩阵乘法的定义表示逐列乘法，其中的项${我}^{\text{th}}$行$\mathrm{一个}$乘以?中相应的项$j^{\text{th}}$列的$B$然后把结果加起来。

矩阵乘法是不可交换的。如果既不$\mathrm{一个}$也不$B$是一个单位矩阵，$\mathrm{一个}B\ne B\mathrm{一个}$。

一行乘以一列

我们从如何乘a开始$1\times n$矩阵$n\times 1$矩阵。第一个是单行，第二个是单列。根据上面的规则，乘积是a$1\times 1$矩阵;换句话说，就是一个数字。

首先，让我们命名行中的条目$r_1，r_2，\mathrm{\dots }，r_n$，以及列中的项$c_1，c_2，\mathrm{\dots }，c_n$。那么行和列的乘积就是$1\times 1$矩阵

$［r_1{c}_1+r_2{c}_2+\mathrm{\dots }+r_n{c}_n］$。

我们要乘以a$1\times 3.$矩阵$1\times 3.$矩阵。第一个数据库中的列数与第二个数据库中的行数相同，因此它们是兼容的。

产品是:

$\begin{array}{l}［（1）（2）+（4）（-1）+（0）（5）］\\ =［2+（-4）+0］\\ =［-2］\end{array}$

大矩阵的乘法

既然您知道了如何用一行乘以一列，那么乘更大的矩阵就很容易了。中的条目${我}^{\text{th}}$Row和the$j^{\text{th}}$乘积矩阵的列，乘以中的每一项${我}^{\text{th}}$第一个矩阵的行中对应的项$j^{\text{th}}$第二个矩阵的列，并将结果相加。

我们来看下面的问题，乘以a$2\times 3.$带a的矩阵$3.\times 2$矩阵，得到a$2\times 2$矩阵作为乘积。乘积矩阵的元素叫做$e_{我j}$当他们在${我}^{\text{th}}$行和$j^{\text{th}}$列。

$［\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 1\\ \hfill 0& \hfill 1& \hfill 2\end{array}］\cdot ［\begin{array}{rr}\hfill 3.& \hfill 5\\ \hfill -1& \hfill 0\\ \hfill 2& \hfill -1\end{array}］=［\begin{array}{rr}\hfill e_{11}& \hfill e_{12}\\ \hfill e_{21}& \hfill e_{22}\end{array}］$

得到$e_{11}$，行乘$1$第一个矩阵的列$1$第二个。

$e_{11}=［\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 1\end{array}］\cdot ［\begin{array}{r}\hfill 3.\\ \hfill -1\\ \hfill 2\end{array}］=1（3.）+0（-1）+1（2）=5$

得到$e_{12}$，行乘$1$第一个矩阵的列$2$第二个。

$e_{12}=［\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 1\end{array}］\cdot ［\begin{array}{r}\hfill 5\\ \hfill 0\\ \hfill -1\end{array}］=1（5）+0（0）+1（-1）=4$

得到$e_{21}$，行乘$2$第一个矩阵的列$1$第二个。

$e_{21}=［\begin{array}{rrr}\hfill 0& \hfill 1& \hfill 2\end{array}］\cdot ［\begin{array}{r}\hfill 3.\\ \hfill -1\\ \hfill 2\end{array}］=0（3.）+1（-1）+2（2）=3.$

得到$e_{22}$，行乘$2$第一个矩阵的列$2$第二个。

$e_{22}=［\begin{array}{rrr}\hfill 0& \hfill 1& \hfill 2\end{array}］\cdot ［\begin{array}{r}\hfill 5\\ \hfill 0\\ \hfill 1\end{array}］=0（5）+1（0）+2（-1）=-2$

写出乘积矩阵，我们得到:

$［\begin{array}{rr}\hfill e_{11}& \hfill e_{12}\\ \hfill e_{21}& \hfill e_{22}\end{array}］=［\begin{array}{rr}\hfill 5& \hfill 4\\ \hfill 3.& \hfill -2\end{array}］$

因此，我们已经表明:

$［\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 1\\ \hfill 0& \hfill 1& \hfill 2\end{array}］\cdot ［\begin{array}{rr}\hfill 3.& \hfill 5\\ \hfill -1& \hfill 0\\ \hfill 2& \hfill -1\end{array}］=［\begin{array}{rr}\hfill 5& \hfill 4\\ \hfill 3.& \hfill -2\end{array}］$