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余弦定理

的余弦定理用于查找斜位(非右位)的其余部分。三角形当两条边的长度和夹角的长度已知时(SAS)或三条边的长度已知时(SSS)。在这两种情况下，都不可能使用正弦定理因为我们不能建立一个可解比例。

余弦界定国家：

$c^2＝{\mathrm{一个}}^2+b^2-2\mathrm{一个}b\mathrm{因为}C$．

这类似于勾股定理除了第三项和如果$C$第三项是直角吗$0$因为cos$90°$是$0$得到勾股定理。勾股定理是余弦定理的一个特例。

余弦定律也可以说明

$b^2＝{\mathrm{一个}}^2+c^2-2\mathrm{一个}c\mathrm{因为}B$要么

${\mathrm{一个}}^2＝b^2+c^2-2bc\mathrm{因为}\mathrm{一个}$．

$c^2＝{\mathrm{一个}}^2+b^2-2\mathrm{一个}b\mathrm{因为}C$

$c＝\sqrt{{\mathrm{一个}}^2+b^2-2\mathrm{一个}b\mathrm{因为}C}$

$＝\sqrt{{11}^2+5^2-2（11）（5）（\mathrm{因为}20.°）}$

$\approx 6.53$

为了求剩下的角度，现在最简单的方法是使用正弦定律。

$罪\mathrm{一个}\approx \frac{11罪20.°}{6.53}$

$\mathrm{一个}\approx 144.82°$

$罪B\approx \frac{5罪20.°}{6.53}$

$B\approx \mathrm{15．2}°$

请注意,角$\mathrm{一个}$是最长边的对边，三角形不是直角三角形。求逆的时候需要考虑钝角的正弦值$\frac{11罪（20.°）}{6.53}\approx 0.5761$．

最好先求出最长边的对角。在这种情况下，这是边$b$．

$\mathrm{因为}B＝\frac{b^2-{\mathrm{一个}}^2-c^2}{-2\mathrm{一个}c}＝\frac{{19}^2-8^2-{14}^2}{-2（8）（14）}\approx -0.45089$

自从$\mathrm{因为}B$是负的，我们知道$B$是钝角。

$B\approx 116.80°$

自从$B$是钝角而三角形最多有一个钝角，我们知道这个角吗$\mathrm{一个}$和角度$C$都是严重的。

要找到另外两个角度，最简单的方法是使用正弦定律。

$\frac{\mathrm{一个}}{罪\mathrm{一个}}＝\frac{b}{罪B}＝\frac{c}{罪C}$

$\frac{8}{罪\mathrm{一个}}\approx \frac{19}{罪116.80°}\approx \frac{14}{罪C}$

$罪\mathrm{一个}\approx \frac{8罪116.80°}{19}$

$\mathrm{一个}\approx 22.08°$

$罪C\approx \frac{14罪116.80°}{19}$

$C\approx 41.12°$