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余弦定律

的余弦定律用于查找一个斜(非右)的剩余部分。三角形当已知两个边的长度和夹角的测量(SAS)或三个边的长度(SSS)时。在这两种情况下，都不可能使用正弦定律因为我们不能建立一个可解的比例。

余弦定理表明:

$c^2={\mathrm{一个}}^2+b^2-2\mathrm{一个}b\mathrm{因为}C$。

这就像勾股定理除了第三项和$C$第三项是直角吗$0$因为cos$90°$是$0$我们得到了勾股定理。勾股定理是余弦定理的一个特例。

余弦定理也可以表述为

$b^2={\mathrm{一个}}^2+c^2-2\mathrm{一个}c\mathrm{因为}B$或

${\mathrm{一个}}^2=b^2+c^2-2bc\mathrm{因为}\mathrm{一个}$。

$c^2={\mathrm{一个}}^2+b^2-2\mathrm{一个}b\mathrm{因为}C$

$c=\sqrt{{\mathrm{一个}}^2+b^2-2\mathrm{一个}b\mathrm{因为}C}$

$=\sqrt{{11}^2+5^2-2（11）（5）（\mathrm{因为}20.°）}$

$\approx 6.53$

要找出剩下的角，最简单的方法就是用正弦定律。

$罪\mathrm{一个}\approx \frac{11罪20.°}{6.53}$

$\mathrm{一个}\approx 144.82°$

$罪B\approx \frac{5罪20.°}{6.53}$

$B\approx 15.2°$

注意这个角度$\mathrm{一个}$是最长边的对边这个三角形不是直角三角形。当求逆函数时需要考虑钝角它的正弦值是$\frac{11罪（20.°）}{6.53}\approx 0.5761$。

最好先找出最长边的对角。在这种情况下，这是侧$b$。

$\mathrm{因为}B=\frac{b^2-{\mathrm{一个}}^2-c^2}{-2\mathrm{一个}c}=\frac{{19}^2-8^2-{14}^2}{-2（8）（14）}\approx -0.45089$

自$\mathrm{因为}B$是负的，我们知道吗$B$是一个钝角。

$B\approx 116.80°$

自$B$一个钝角一个三角形最多有一个钝角，我们知道这个角吗$\mathrm{一个}$和角度$C$都是急性的。

求另外两个角，最简单的方法是用正弦定理。

$\frac{\mathrm{一个}}{罪\mathrm{一个}}=\frac{b}{罪B}=\frac{c}{罪C}$

$\frac{8}{罪\mathrm{一个}}\approx \frac{19}{罪116.80°}\approx \frac{14}{罪C}$

$罪\mathrm{一个}\approx \frac{8罪116.80°}{19}$

$\mathrm{一个}\approx 22.08°$

$罪C\approx \frac{14罪116.80°}{19}$

$C\approx 41.12°$