逆三角函数

你们已经学过三角函数 $罪（ x ）$ ， $因为（ x ）$ , $棕褐色（ x ）$ 如果已知直角三角形的边长和角的长度，可以用它求出一个未知的直角三角形边长。

的逆三角函数 $罪^{- 1} （ x ）$ ， ${因为}^{- 1} （ x ）$ , ${棕褐色}^{- 1} （ x ）$ ，当直角三角形的两个边长已知时，用来求直角三角形的一个角的未知量。

示例1:

放置梯子的底部 $3.$ 离一个 $10$ 一英尺高的墙，使梯子的顶部与墙的顶部相接。梯子与地面形成的角度是多少?

这里有一个直角三角形，我们知道两条边的长度，也就是对边和邻边。我们用的是正切函数。如果你把它输入一个设置为“度”模式的计算器，你会得到

${棕褐色}^{- 1} （ \frac{10}{3.} ） \approx 73.3 °$

如果你把计算器设置为弧度模式，你会得到

${棕褐色}^{- 1} （ \frac{10}{3.} ） \approx 1.28$

如果你记住了边长比 $45 - 45 - 90$ 和 $30. - 60 - 90$ 三角形，你可能不需要计算器就能求出反三角函数的值。

示例2:

找到 ${因为}^{- 1} （ \frac{\sqrt{3.}}{2} ）$ ．

你们可以回想一下 $30. - 60 - 90$ 三角形，如果斜边有长度 $1$ ，那么长腿就有长度 $\frac{\sqrt{3.}}{2}$ ．因为余弦是邻边与斜边之比，所以反余弦的值是 $30. °$ ,约 $0.52$ 弧度。

${因为}^{- 1} （ \frac{\sqrt{3.}}{2} ）＝ 30. °$

三角函数都是周期函数．因此，他们的图表没有一个通过水平线所以不是测试 $1 - 来 - 1$ ．这意味着它们都没有逆，除非域每一个都被限制来制造它们 $1 - 来 - 1$ ．

由于图是周期性的，如果我们选择一个合适的域，我们可以使用的所有值范围．

如果我们限定定义域 $f （ x ）＝罪（ x ）$ 来 $［ - \frac{π}{2} ， \frac{π}{2} ］$ 我们做了这个函数 $1 - 来 - 1$ ．范围是 $［ - 1 ， 1 ］$ ．

(尽管有许多方法可以限制域来获得 $1 - 来 - 1$ 函数，这是商定的使用间隔。)

我们表示逆函数作为 $y ＝罪^{- 1} （ x ）$ ．这是阅读 $y$ sin的倒数是多少 $x$ 和手段 $y$ 这个实数角的正弦值是多少 $x$ ．注意使用的符号。上标” $^{- 1}$ 不是指数。为了避免这种符号，一些书使用了这种符号 $y ＝ \arcsin （ x ）$ 代替。

为了画出正弦函数的反函数，记住这个图像是直线上的一个反射 $y ＝ x$ 正弦函数。

注意，定义域现在是值域，值域现在是定义域。因为定义域是有限制的，所以所有的正数都会得到a $1^{圣}$ 象限角和所有负值将产生a $4^{th}$ 象限角。

类似地，我们可以限定余弦函数和正切函数的定义域 $1 - 来 - 1$ ．

反余弦函数的定义域是 $［ - 1 ， 1 ］$ 范围是 $［ 0 ， π ］$ ．这意味着一个正值会产生a $1^{圣}$ 象限角和负值将产生a $2^{nd}$ 象限角。

反切函数的定义域是 $（ - \infty ， \infty ）$ 范围是 $（ - \frac{π}{2} ， \frac{π}{2} ）$ ．正切函数的反函数将在 $1^{圣}$ 和 $4^{th}$ 象限。

用同样的方法求剩下的三角函数的反函数——余切、sec和csc。